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NSW (numeri)

Sequenze  Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri NSW” i numeri naturali generati dalla ricorrenza a0 = 1, a1 = 7, an = 6an – 1an – 2.

Possono anche essere ottenuti dalla formula Formula per i numeri NSW, equivalente a Formula per i numeri NSW.

 

Sono così chiamati perché studiati da M. Newman, D. Shanks e H.C. Williams, che dimostrarono che tali numeri condividono alcune proprietà con i numeri di Mersenne:

  • se an è primo, 2n + 1 è primo;
  • se 2n + 1 è un primo, i divisori di an, danno resto 1 o 7 se divisi per 8 e sono della forma 2kn + 1;
  • se 2n + 1 e 2m + 1 sono primi distinti, an e am sono primi tra loro;
  • se 2n + 1 è un primo della forma 4k + 3 e q = 2p + 1 è primo, q divide an.

 

La tabella seguente mostra i numeri NSW fino a a20.

n

an

0

1

1

7

2

41

3

239

4

1393

5

8119

6

47321

7

275807

8

1607521

9

9369319

10

54608393

11

318281039

12

1855077841

13

10812186007

14

63018038201

15

367296043199

16

2140758220993

17

12477253282759

18

72722761475561

19

423859315570607

20

2470433131948081

 

I numeri NSW sono i valori interi di y che costituiscono soluzioni intere dell’equazione 2x2 = y2 + 1. L’equazione risolve il problema di trovare quadrati di lato intero, tale che il quadrato della diagonale sia uguale al quadrato di un intero più uno (i numeri NSW rappresentano il lato di questo quadrato); tali numeri erano chiamati “diagonali razionali” dai Greci.

 

I numeri NSW sono i valori di n tali Tn + 1 + Tn + Tn – 1 + Tn – 2 sia un quadrato, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare.

 

Se w è un numero NSW e 3 * (k^2 – 1) / (w^2 – 1) è intero, i numeri della forma Numeri sia piramidali che quadrati sono sia piramidali che quadrati.

 

Formula che lega i numeri NSW ai numeri di Pell – Lucas, dove Qn è l’n-esimo numero di Pell – Lucas.

 

I numeri NSW sono i numeratori delle frazioni ottenute troncando la frazione continua che approssima Radice quadrata di 2 con un numero pari di termini (v. costante di Pitagora);

 

I numeri NSW che sono primi sono detti anche “primi NSW”; quelli noti hanno indice:  1, 2, 3, 9, 14, 23, 29, 81, 128, 210, 468, 473, 746, 950, 3344, 4043, 4839, 14376, 39521, 64563, 72984, 82899, 84338, 85206, 86121 (Eric W. Weisstein, 2007). Non è noto se siano infiniti, però James A. Sellers e Hugh Williams dimostrarono nel 2001 che i numeri NSW composti sono infiniti e in particolare am divide a(2m + 1)n + m per ogni valore di n.

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