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Semplicemente normali (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Secondo la definizione data da Émile Borel nel 1909, i numeri semplicemente normali in base b sono i numeri reali tali che nella loro rappresentazione in base b ogni cifra da 0 a b – 1 capita, in media, con la stessa frequenza delle altre.

Sono quindi numeri normali, però limitatamente alle singole cifre e non alle sequenze. Per esempio, il numero Esempio di numero semplicemente normale è semplicemente normale in base 10, perché ogni cifra capita una volta su 10, ma non normale, perché infinite sequenze, come 17 o 99, non capitano mai.

Come si vede dall’esempio, in ogni base fissata esistono infiniti numeri razionali che sono semplicemente normali, ma non normali.

 

Borel dimostrò che quasi tutti i numeri reali sono semplicemente normali in tutte le basi intere maggiori di 1.

 

Tutti i numeri normali in una base sono anche semplicemente normali in quella base.

 

Il fatto che un numero sia semplicemente normale in base r implica che sia semplicemente normale in base s se e solo se r è una potenza di s (Peter Hertling, 2002).

 

Fissato un insieme di basi, che contenga tutte le potenze di ciascuna con esponente razionale che siano interi, esiste un insieme infinito non numerabile di numeri semplicemente normali in tutte le basi dell’insieme e non semplicemente normali in tutte le altre basi (Verónica Becher e Theodore A. Slaman, 2013).

 

Un numero semplicemente normale in base bk è anche semplicemente normale in tutte le basi bm, con m < k.

 

Un numero semplicemente normale in base bk per ogni valore di k è normale in tutte le basi che sono potenze di b, inclusa b (Pillai). Calvin T. Long dimostrò nel 1957 che perché un numero sia normale, è sufficiente che sia semplicemente normale per un insieme infinito di valori di k; non ci si può però limitare a un insieme finito, per quanto grande, di valori di k, perché si escluderebbero le sequenze di più di k cifre.

 

Nel 2006 Richard Isaac dimostrò che se n è un intero, ma non un quadratoRadice quadrata di n è semplicemente normale in base 2.

Vedi anche

Numeri normali.

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