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Ricchi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Un numero reale si dice “ricco” in base b se la sua rappresentazione in base b contiene tutte le sequenze possibili di cifre, di qualsiasi lunghezza finita.

 

Un numero reale x è ricco in base b se e solo se la parte frazionaria di xbn costituisce un insieme denso nell’intervallo (0 .. 1) quando n assume come valore tutti i numeri naturali.

 

Un numero normale in base b è anche ricco nella stessa base, ma il contrario non vale. Per esempio, il numero ottenuto in modo analogo al numero di Champernowne scrivendo di seguito i numeri naturali in base 10, ma intercalando tra uno e l’altro una sequenza di copie di una stessa cifra, tante quante sono le cifre del numero precedente, è ricco ma non normale. Infatti, il numero 0.19293949596979899910991199129913991499159916991799189919992099… contiene tutte le sequenze finite possibili di cifre, vale a dire tutti i numeri naturali, ma ha una netta prevalenza di 9, quindi non rispetta il requisito che le varie cifre compaiano (asintoticamente) lo stesso numero di volte.

 

Si suppone che tutti i numeri irrazionali algebrici siano assolutamente ricchi.

Non sono invece assolutamente ricchi tutti i numeri trascendenti; per esempio, il numero di Liouville non contiene cifre diverse da 0 e 1 e quindi non è neppure ricco in base 10.

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