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Stoneham (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

I numeri di Stoneham sono i numeri della forma Formula per la definizione dei numeri di Stoneham, con b e c interi maggiori di 1.

Devono il loro nome alla dimostrazione di R.G. Stoneham (1973) che sono normali in base b, se c è un numero primo dispari e b è una radice primitiva di c2.

 

Nel 2003 David H. Bailey e Richard E. Crandall dimostrarono che per la normalità basta che b e c siano maggiori di 1 e primi tra loro

b e csiano maggiori di 1 e primi tra loro.

In alcuni casi è possibile calcolare cifre isolate dei numeri indicati da Bailey e Crandall, senza calcolare le precedenti, con algoritmi simili a quello di Bailey, Borewein e Plouffe per π, ma ancora più efficienti: i due calcolarono infatti alcune cifre binarie del numero di Stoneham S(2, 3) intorno alla googol-esima (10100-esima) posizione in 2.8 secondi.

 

I casi più interessanti sono:

  • il massimo numero di Stoneham Formula per il massimo numero di Stoneham, normale in base 3;
  • il massimo numero di Stoneham normale in base 10 Formula per il massimo numero di Stoneham normale in base 10.

 

Dalla dimostrazione di Kurt Mahler (1929) segue che sono trascendenti, se b e c sono maggiori di 1, b è algebrico e c intero, quindi in particolare tutti i numeri di Stoneham sono trascendenti.

 

Nel 2013 Michael Coons dimostrò strane proprietà delle cifre di due numeri di Stoneham:

  • se dn è la cifra n-esima dopo la virgola di S(2, 3) in base 4, per qualsiasi n intero non negativo Somma che coinvolge le cifre del numero di Stoneham S(2, 3), per n pari e Somma che coinvolge le cifre del numero di Stoneham S(2, 3), per n dispari, e dk = d3n + kd2 • 3n + k, per k da 3 / 2 * (3^n + 1) a 3 / 2 * (3^n + 1) + 3^n – 1;
  • se dn è la cifra n-esima dopo la virgola di S(3, 5) in base 3, per qualsiasi n intero non negativo Somma che coinvolge le cifre del numero di Stoneham S(3, 5)dk = d4 • 5n + kd8 • 5n + kd12 • 5n + k = d16 • 5n + k, per k da 5n + 1 + 1 a 5n + 1 + 4 • 5n + 1.

Vedi anche

Numeri normali.

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