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Iperperfetti unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri iperperfetti unitari è uguale a quella dei numeri iperperfetti, sostituendo alla somma dei divisori quella dei divisori unitari. Quindi si dicono “iperperfetti unitari” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei divisori unitari propri più uno: se Formula per la definizione dei numeri iperperfetti unitari, n si dice “k-iperperfetto unitario”.

Se k = 1, abbiamo i numeri perfetti unitari.

 

Un intero k-iperperfetto unitario non multiplo di un quadrato è anche k-iperperfetto.

 

Dalla formula si deduce che un intero n k-iperperfetto unitario dà resto uno se diviso per k e Somma dei divisori unitari uguale a n + 1 + (n - 1) / k, quindi Rapporto intero nel caso di numeri iperperfetti unitari è intero. Dato che se n è composto, Disuguaglianza soddisfatta dalla somma dei divisori unitari per ogni primo p che divide n , i fattori primi di n sono tutti maggiori di k.

Si può dimostrare inoltre che k e n devono avere parità opposta.

 

Per un intero k-iperperfetto unitario n vale Disuguaglianza soddisfatta dai numeri iperperfetti unitari, dove l’uguaglianza a sinistra vale solo per k = 1 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1984).

 

Se n è k-iperperfetto unitario e 3 divide kn, n ha un numero dispari di fattori primi.

 

Nel 1984 Walter E. Beck e Rudolph M. Najar dimostrarono che se n = pam è k-iperperfetto unitario con p primo e m non multiplo di p, allora:

  • pa > k;
  • (pak)(mk) ≥ k2 + 1;
  • Disuguaglianza soddisfatta dai numeri iperperfetti unitari;
  • Disuguaglianza soddisfatta dai numeri iperperfetti unitari;
  • se m = qb con q primo, (pak)( qbk) = k2 + 1.

Gli stessi matematici dimostrarono che fissato k, esiste al massimo un numero finito di numeri k-iperperfetti unitari della forma paqb con p e q primi distinti; in tal caso inoltre, supponendo pa < qb, vale k < pa < 2k < qbk2 + k + 1 per k > 1 e k < pa < 2k < qbk2 + k + 1. Di conseguenza esistono un unico numero 1-iperperfetto unitario (6 = 2 • 3) e un unico numero 2-iperperfetto unitario (21 = 3 • 7) di questa forma.

 

Se un numero k-iperperfetto unitario n ha la forma paqb, con p e q primi Formula per q^b, e in particolare pak non può essere un multiplo di 4 nè essere divisibile per primi della forma 4m + 3; inoltre se pak = 2, p deve essere un primo di Fermat (Peter Hagis Jr., 1981). Gli unici iperperfetti unitari noti di questa forma sono: 6 = 2 • 3 (k = 1), 40 = 23 • 5 (k = 3), 288 = 25 • 32 (k = 7), 2176 = 27 • 17 (k = 15), 8421376 = 215 • 257 (k = 255), 140739635838976 = 231 • 65537 (k = 65535).

 

Se un numero k-iperperfetto unitario n ha la forma paqbrc, con p q e r primi, Formula per q^b e Formula per r^c, dove xy = (pak)(1 + kpa) + k2(pa + 1)2.

 

Il metodo di te Riele (v. numeri iperperfetti) permette di trovare numeri iperperfetti della forma pqr, con p, q e r primi, quindi numeri non multipli di quadrati, che sono anche iperperfetti unitari.

 

Peter Hagis Jr. trovò nel 1981 un metodo per trovare numeri iperperfetti unitari simile a quello di H.J.J. te Riele per i numeri iperperfetti: dato un intero p, se esistono interi a e b tali che (mk(σ*(m) – m))(1 + k(σ*(m) – 1)) + (kσ*(m))2 = ab con b > a ≥ 1 e se Formula per p^r e Formula per q^s con p e q interi e primi, allora n = prqsm è k-iperperfetto unitario.

 

Hagis trovò 822 numeri iperperfetti unitari inferiori a 1010 della forma prqs con p e q primi, i massimi dei quali sono: 273719296 = 213 • 33413 (k = 6579) e 7799996416 = 215 • 238037 (k = 288037) e 340 iperperfetti unitari inferiori a 109, solo 9 dei quali con 3 fattori primi e tra questi alcuni sconosciuti in precedenza: 113579968 (k = 57), 268868521 (k = 60), 391854937 (k = 228) e 464407741 (k = 30).

 

Hagis dimostrò che:

  • se n = prqs è k-iperperfetto unitario con p e q primi, n = 2r3s oppure k è multiplo di 3; l’unico numero iperperfetto della forma 2r3s minore di 1014 è 288 = 25 • 32 (k = 7);
  • se n k-iperperfetto unitario, multiplo di m primi distinti (eventualmente elevati a varie potenze) n > (mk)m e in particolare se n = prqs con p e q primi, n > 4k2.

 

Hagis trovò nel 1981 i 36 numeri iperperfetti unitari non superiori a 1000000: 6, 21, 40, 52, 60, 90, 288, 301,657, 697,1333, 1909, 2041, 2176, 3856, 3901, 5536, 6517, 15025, 24601, 26977, 30105, 87360, 96361, 105301, 130153, 163201, 250321, 275833, 296341, 389593, 486877, 495529, 524961, 542413, 808861.

 

Sono stati poi trovati numerosi altri numeri iperperfetti, come: 8882125917841, 120-iperperfetto unitario e 2809598141455735813, 42-iperperfetto unitario.

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