Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Valori

La tabella seguente riporta i primi valori della funzione.

n

d(n)

1

1

2

2

3

2

4

3

5

2

6

4

7

2

8

4

9

3

10

4

11

2

12

6

13

2

14

4

15

4

16

5

17

2

18

6

19

2

20

6

 

Occasionalmente la funzione produce lo stesso valore per due o più interi consecutivi.

Nel 1971 R.C. Vaughan dimostrò che almeno una delle seguenti affermazioni è vera:

  • esistono infiniti primi p tali che 8p + 1 sia primo o semiprimo;

  • esistono infinite coppie di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori.

Heath-Brown dimostrò nel 1984 che per ogni valore intero positivo di a, esistono infinite coppie di interi n e n + a che hanno lo stesso numero di divisori; in particolare dimostrò che per a = 1 il numero di tali coppie minori di n è almeno Limite inferiore per il numero di coppie di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori.

Successivamente Hildebrand dimostrò che tale numero è almeno Limite inferiore per il numero di coppie di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori per n abbastanza grande e Erdös, Pomerance e Sárközy dimostrarono che non supera Limite superiore per il numero di coppie di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori, per una costante C da determinare e n abbastanza grande.

La prima coppia di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori è formata da 2 e 3 (2 divisori); la successiva da 14 e 15 (4 divisori); la minima con 6 divisori inizia con 242 e la minima con 8 inizia con 11605. Dato che solo i quadrati hanno numero di divisori dispari e che non esistono quadrati consecutivi, non possono esistere coppie di interi consecutivi con numero di divisori dispari.

Esistono probabilmente infinite sequenze di ogni lunghezza di interi consecutivi con lo stesso numero di divisori, come per esempio 242, 243, 244 e 245, tutti con 6 divisori, tuttavia per ora non è neppure stato dimostrato che esistano infinite terne.

Il record della lunghezza spetta per ora alla sequenza di 9 interi, con 48 divisori, che inizia con 17796126877482329126044, scoperta da Ivo Düntsch e Roger Eggleton nel 1990.

Curiosamente J.M. De Kroninck e F. Luca dimostrarono invece che esistono infinite sequenze di ogni lunghezza di interi consecutivi con lo stesso prodotto degli esponenti dei fattori primi.

 

La tabella seguente riporta alcuni valori di n a partire dai quali vi sono almeno k interi consecutivi con lo stesso numero di divisori (un punto interrogativo indica che potrebbero esserci numeri inferiori con la stessa proprietà).

k

n

2

2, 14, 21, 26, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, 104, 116, 118, 122, 133, 135, 141, 142, 145, 147, 158, 171, 177, 189, 201, 202, 205, 213, 214, 217, 218, 230, 231, 242, 243, 244, 253, 285, 296, 298, 301, 302, 326, 332, 334, 344, 374, 375, 381, 387

3

33, 85, 93, 141, 201, 213, 217, 230, 242, 243, 301, 374, 393, 445, 603, 633, 663, 697, 902, 921, 1041, 1105, 1137, 1261, 1274, 1309, 1334, 1345, 1401, 1641, 1761, 1832, 1837, 1885, 1893, 1924, 1941, 1981, 2013, 2054, 2101, 2133, 2181, 2217, 2264, 2305

4

242, 3655, 4503, 5943, 6853, 7256, 8392, 9367, 10983, 11605, 11606, 12565, 12855, 12856, 12872, 13255, 13782, 13783, 14312, 16133, 17095, 18469, 19045, 19142, 19143, 19940, 20165, 20965, 21368, 21494, 21495, 21512, 22855, 23989, 26885

5

11605, 12855, 13782, 19142, 21494, 28374, 28375, 40311, 42805, 50582, 55254, 60231, 60663, 79094, 87655, 90181, 90182, 95845, 99655, 103621, 109765, 115591, 120727, 121045, 122151, 122871, 142454, 142806, 152630, 157493, 157494, 171893, 171894, 171895, 174054, 175143

6

28374, 90181, 157493, 171893, 171894, 180965, 180966, 210133, 298694, 346502, 369061, 376742, 610310, 647381, 647382, 707286, 729542, 769862, 1039493, 1039494, 1071829, 1071830, 1243541, 1302005, 1449605, 1450261, 1450262, 1507205, 1563653, 1563654, 1624133

7

171893, 180965, 647381, 1039493, 1071829, 1450261, 1563653, 1713413, 2129029, 2384101, 4704581, 4773301, 5440853, 5775365, 6627061, 6644405, 6697253, 8556661, 8833429, 10531253, 12101509, 12238453, 12307141, 13416661, 13970405, 16280533, 16369013, 16424101, 16904693

8

1043710445721

9

2197379769820, 17796126877482329126044?

10

2642166652554075?

11

17707503256664346?

12

9827470582657267545?

 

La tabella seguente riporta il minimo valore di n a partire dai quali vi sono almeno k interi consecutivi con numero di divisori crescente o decrescente.

k

Crescenti

Decrescenti

1

1

1

2

1

4

3

61

45

4

61

80

5

11371

28974

6

11371

28974

7

7392171

8489103

8

168776043

80314575

9

1584614377

5196065775

10

38045133481

77506573550

 

Esistono anche insiemi di numeri con lo stesso valore del prodotto nd(n): la minima coppia è formata da 18 e 27 (valore del prodotto 108) e la minima terna da 168, 192 e 224 (valore del prodotto 2688).

 

Il prodotto della media aritmetica e della media armonica dei divisori di un intero positivo è uguale al numero stesso. Per esempio, 20 ha per divisori 1, 2, 4, 5, 10 e 20; la media armonica dei divisori è Media armonica dei divisori di 20, la loro media aritmetica è Media aritmetica dei divisori di 20 e il prodotto delle due medie è 20.

 

Si chiamano divisori principali di un intero le massime potenze dei suoi fattori primi che lo dividono; per esempio, i divisori principali di 12 sono 3 e 4. Ogni numero dispari maggiore di 15 che non sia una potenza di un primo è maggiore del doppio della somma dei suoi divisori principali.

 

Gli unici interi per i quali d(n) = φ(n) sono: 1, 3, 8, 10, 18, 24 e 30.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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