Indice
La funzione d(n), talvolta indicata come τ(n) dal tedesco teiler (divisore), è il numero di divisori di n, includendo 1 e n.
Quindi d(n) è 1 solo per n = 1, è 2 se e solo se n è primo e in generale se n = pk, con p primo, allora d(n) = k + 1.
La funzione è moltiplicativa; se 
è la scomposizione di n in fattori primi, con i vari pi primi diversi tra loro, allora 
. Mersenne conosceva questo metodo per calcolare il numero di divisori, ma anche matematici precedenti l’avevano utilizzato, almeno in casi particolari.
Dato che il prodotto è dispari se e solo se tutti i termini sono dispari, cioè se tutti gli ei sono pari, d(n) è dispari se e solo se n è un quadrato.
Alcune formule che coinvolgono il numero di divisori:
d(n) = σ0(n);
;
d(pn#) = 2n;
;
solo per n = 1, 3, 18 e 36.
Se a e b sono interi maggiori di 0 e primi tra loro, a – b > 1 e n è un intero dispari non multiplo di 3, d(an + bn) ≥ 2d(n).
Curiosamente d(n) è il numero di fattori non ulteriormente scomponibili di an – bn.
Liouville dimostrò una proprietà straordinaria del numero di divisori: per ogni intero n, 
, dove le somme vanno calcolate su tutti i divisori di n. Per esempio, per n = 12 i divisori sono 1, 2, 3, 4, 6, e 12; i numeri di divisori di questi sono: d(1) = 1, d(2) = 2, d(3) = 2, d(4) = 3, d(6) = 4 e d(12) = 6 e (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)2 = 182 = 324 = 13 + 23 + 23 + 33 + 43 + 63.
Una conseguenza di questo teorema è che se n ha la forma 4m + 2, non ha fattori primi della forma 4k + 3 e scriviamo il numero di modi in cui i suoi divisori pari possono essere espressi come somma di due quadrati dispari (contando le permutazioni degli addendi), la somma dei cubi del numero di modi è uguale al quadrato della loro somma. Per esempio, 50 ha divisori pari 2, 10, e 50; 2 si esprime come somma di due quadrati dispari in un solo modo: 12 + 12, 10 in due: 12 + 32 e 32 + 12, e 50 in tre: 12 + 72, 72 + 12 e 52 + 52. Allora 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2.
Andrzej Mąkowski dimostrò che questo è l’unico caso della formula 
che valga per qualsiasi n, se m > 1.
Le scomposizioni di un intero n maggiore di 1 come prodotto di due interi sono 
, se n è un quadrato, 
altrimenti. Per esempio, d(30) = 8, perché i divisori sono 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 e le scomposizioni di 30 come prodotto di due interi sono 4: 1 • 30, 2 • 15, 3 • 10 e 5 • 6.
La funzione ha un andamento irregolare, scendendo a 2 infinite volte (per i numeri primi), ma raggiungendo anche valori sempre più altri. L’unico limite noto sempre valido è 
.
Paul Erdös e M. Kac dimostrarono che la frazione degli interi per i quali 
tende a 
, ossia all’area sotto la gaussiana da a a b. In altri termini il numero di divisori si comporta come una variabile casuale normale, con media loglogn e deviazione standard 
.
Per quanto riguarda i picchi, Erdös, S.W. Graham, A. Ivič e C. Pomerance dimostrarono nel 1995 che 
.
Inoltre 
(Severin Wigert).
L’andamento della media dei valori è più regolare: L. Dirichlet dimostrò nel 1838 che 
cresce come logn + 2γ – 1.
Alcune somme infinite notevoli:
per s > 1;
tende a 
, dove γ1 è la prima costante di Stieltjes;
tende a 
per s > 1;
Erdös dimostrò nel 1988 che 
è irrazionale (v. costante di Erdös – Borwein).
La funzione generatrice è 
e quindi 
, per |x < 1|.
Tabelle numeriche
I primi 1000 valori della funzione d.Vedi anche
Costante di Erdös – Borwein, Funzione σ, Funzione σk, Funzione φ, Numeri altamente composti, γ.Bibliografia
- De Koninck, Jean-Marie; Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.
- Honsberger, Ross; Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
- Wells, David; Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -
Una miniera di informazioni sui numeri primi.