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La funzione d(n), talvolta indicata come τ(n) dal tedesco teiler (divisore), è il numero di divisori di n, includendo 1 e n.

Quindi d(n) è 1 solo per n = 1, è 2 se e solo se n è primo e in generale se n = pk, con p primo, allora d(n) = k + 1.

 

La funzione è moltiplicativa; se Scomposizione di n come prodotto di potenze di primi distinti è la scomposizione di n in fattori primi, con i vari pi primi diversi tra loro, allora Formula per il calcolo del numero di divisori. Mersenne conosceva questo metodo per calcolare il numero di divisori, ma anche matematici precedenti l’avevano utilizzato, almeno in casi particolari.

 

Dato che il prodotto è dispari se e solo se tutti i termini sono dispari, cioè se tutti gli ei sono pari, d(n) è dispari se e solo se n è un quadrato.

 

Alcune formule che coinvolgono il numero di divisori:

d(n) = σ0(n);

Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero;

d(pn#) = 2n;

Formula che coinvolge i divisori di un intero;

Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero solo per n = 1, 3, 18 e 36.

 

Liouville dimostrò una proprietà straordinaria del numero di divisori: per ogni intero n, Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero, dove le somme vanno calcolate su tutti i divisori di n. Per esempio, per n = 12 i divisori sono 1, 2, 3, 4, 6, e 12; i numeri di divisori di questi sono: d(1) = 1, d(2) = 2, d(3) = 2, d(4) = 3, d(6) = 4 e d(12) = 6 e (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)2 = 182 = 324 = 13 + 23 + 23 + 33 + 43 + 63.

Una conseguenza di questo teorema è che se n ha la forma 4m + 2, non ha fattori primi della forma 4k + 3 e scriviamo il numero di modi in cui i suoi divisori pari possono essere espressi come somma di due quadrati dispari (contando le permutazioni degli addendi), la somma dei cubi del numero di modi è uguale al quadrato della loro somma. Per esempio, 50 ha divisori pari 2, 10, e 50; 2 si esprime come somma di due quadrati dispari in un solo modo: 12 + 12, 10 in due: 12 + 32 e 32 + 12, e 50 in tre: 12 + 72, 72 + 12 e 52 + 52. Allora 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2.

Maiakowski dimostrò che questo è l’unico caso della formula Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero che valga per qualsiasi n, se m > 1.

 

La funzione ha un andamento irregolare, scendendo a 2 infinite volte (per i numeri primi), ma raggiungendo anche valori sempre più altri. L’unico limite noto sempre valido è Limite superiore per il numero di divisori.

Paul Erdös e M. Kac dimostrarono che la frazione degli interi per i quali Limiti per il numero di divisori tende a Limite della frazione degli interi con numero di divisori compreso tra gli estremi indicati, ossia all’area sotto la gaussiana da a a b. In altri termini il numero di divisori si comporta come una variabile casuale normale, con media loglogn e deviazione standard Deviazione standard della frazione degli interi con numero di divisori compreso tra gli estremi indicati.

 

Per quanto riguarda i picchi, Erdös, S.W. Graham, A. Ivič e C. Pomerance dimostrarono nel 1995 che Limite superiore per il numero di divisori.

Inoltre Limite superiore per il numero di divisori (Severin Wigert).

 

L’andamento della media dei valori è più regolare: L. Dirichlet dimostrò nel 1838 che Media della somma dei divisori cresce come logn + 2γ – 1.

 

Alcune somme infinite notevoli:

Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero per s > 1;

Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero tende a Limite per la somma dei divisori di k divisa per k, dove γ1 è la prima costante di Stieltjes;

Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero tende a Limite per la somma dei divisori di k divisa per k elevato alla s per s > 1;

Erdös dimostrò nel 1988 che Formula che coinvolge il numero di divisori di un intero è irrazionale (v. costante di Erdös – Borwein).

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice per il numero di divisori e quindi Funzione generatrice per il numero di divisori, per |x < 1|.

 

Curiosamente d(n) è il numero di fattori non ulteriormente scomponibili di anbn.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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