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Iperperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si dicono “iperperfetti” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei divisori propri escluso uno, più uno; vale a dire che un numero naturale n si dice “k-iperperfetto”, se Formula per la definizione dei numeri iperperfetti.

Se k = 1, abbiamo i numeri perfetti.

 

Il termine e la definizione si devono a D. Minoli e R. Bear (1975).

 

Dalla formula si deduce che un intero n k-iperperfetto dà resto uno se diviso per k e Valore di σ(n) per i numeri iperperfetti, quindi Valore che è intero per i numeri iperperfetti è intero. Dato che Limite inferiore per il valore di σ(n) per i numeri iperperfetti per ogni primo p che divide n, i fattori primi di n sono tutti maggiori di k. quindi in particolare per k > 1 i numeri iperperfetti sono tutti dispari e n e k non possono avere fattori comuni.

 

Se k è dispari, Valore di kσ(n) per i numeri k-iperperfetti con k dispari; kσ(n) è pari, quindi è pari anche σ(n), e questo implica che n non sia un quadrato.

 

Per un intero k-iperperfetto n vale Limiti superiore e inferiore per il valore di n / σ(n) per i numeri k-iperperfetti, dove l’uguaglianza a sinistra vale solo per k = 1 (Walter E. Beck e Rudolph M. Najar, 1984).

 

La tabella seguente riporta i numeri k-iperperfetti inferiori a 1000000.

n

k

6

1

21

2

28

1

301

6

325

3

496

1

697

12

1333

18

1909

18

2041

12

2133

2

3901

30

8128

1

10693

11

16513

6

19521

2

24601

60

26977

48

51301

19

96361

132

130153

132

159841

10

163201

192

176661

2

214273

31

250321

168

275833

108

296341

66

306181

35

389593

252

486877

78

495529

132

542413

342

808861

366

 

Come si trovano questi numeri? In due modi: setacciando tutti gli interi fino a un certo limite, con l’aiuto di un calcolatore, oppure cercando delle formule, come quelle riportate più avanti, che garantiscono che il prodotto di primi con certe caratteristiche sia iperperfetto.

Nella prima direzione Judson S. McCranie nel 2000 estese le ricerche fino a 1011 e Johnson Donovan fino a 1012 nel 2011.

 

Se k è un intero dispari, p = (3 * k + 1) / 2 è primo e q = 2p + 3 è primo, allora p2q è k-iperperfetto;  McCranie congetturò nel 2000 che tutti numeri iperperfetti con k dispari e maggiore di 1 siano di questa forma questo implicherebbe tra l’altro che ve ne sia al massimo uno per ogni valore dispari di k.

La congettura di Dickson, se vera, implica però che vi siano infiniti valori di k che soddisfano le condizioni e quindi infiniti numeri k-iperperfetti con k dispari.

La tabella seguente riporta i numeri k-iperperfetti noti con k dispari e maggiore di 1.

k

Numero

3

325

11

10693

19

51301

31

214273

35

306181

59

1433701

75

2924101

91

5199013

 

H.J.J. te Riele aveva dimostrato nel 1981 che i numeri iperperfetti possono avere più di 2 fattori primi distinti. Il matematico dimostrò, infatti, che dato un primo p, se esistono interi a e b tali che p4p2p + 2 = ab con b > a > 1 e se Formula per qFormula per r sono interi e primi, allora pqr è k-iperperfetto. Con questo metodo e ulteriori perfezionamenti trovò 11 numeri iperperfetti con 3 fattori e 1 con 4, mostrati nella tabella seguente.

Numero

Numero di fattori primi distinti

k

1570153

3

12

60110701

3

6

13544168521

3

12

3675965445337

3

228

8992165119733

3

18

8898807853477

3

282

72315968283289

3

276

348231627849277

3

222

217158581600773

3

42

7972299196816043329

3

96

3736320978727037068273

3

72

1605108132959576124160002571981

4

1110

Nel 2000 si conoscevano solo 19 numeri k-iperperfetti con 3 fattori primi e per tutti questi k è pari; McCranie ne aggiunse 346 all’elenco, il massimo dei quali è 1575022776257162013647941 (k = 9930), tutti sempre con k pari.

Questi dati avvalorano la congettura, anche se non si vede un motivo per il quale tutti i numeri k-iperperfetti con k dispari debbano essere della forma sopra descritta.

 

Se p e q sono numeri primi distinti e k(p + q) = pq – 1, pq è k-iperperfetto; in tal caso k < p < q < 2k. Il minimo iperperfetto di questa forma è 21 = 3 • 7, per k = 2.

 

Se p = k + 1 è primo e q = pnp + 1 è primo, pn – 1q è k-iperperfetto; il minimo iperperfetto di questa forma è 21 = 3 • 7. Tutti i numeri 2-iperperfetti noti sono di questa forma, con p = 3, q = 3n – 2. A. Bege e K. Fogarasi avanzarono nel 2009 la congettura che tutti i numeri 2-iperperfetti siano di questa forma.

 

Non si conoscono numeri k-iperperfetti per vari valori di k. Se per k dispari devono avere la forma ipotizzata da McCranie, esistono infiniti valori di k dispari per i quali non vi sono numeri k-iperperfetti. Il minimo valore di k dispari per il quale non si conoscano numeri k-iperperfetti è 5.

La situazione è meno chiara per k pari: è possibile che esistano valori di k dispari per i quali non vi siano numeri k-iperperfetti, ma i dati disponibili non bastano a rafforzare l'ipotesi in modo convincente e alcuni esperti sono di parere contrario. Il minimo valore di k pari per il quale non si conoscano numeri k-iperperfetti è 8.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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