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Lin(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Dilogaritmo
  5. 5. Trilogaritmo

La funzione dilogaritmo, ovvero Li2(x), appare per la prima volta in alcune lettere di Leibniz a Bernoulli nel 1696.

 

La funzione –Li2(–x) è anche chiamata “funzione di Spence”.

 

In alcuni ambiti viene chiamata “dilogaritmo” la funzione Li2(1 – z), invece della funzione Li2(z).

 

Alcune formule che coinvolgono il dilogaritmo:

Formula che coinvolge la funzione Li2;

Formula che coinvolge la funzione Li2 (Eulero, 1768);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ (0 .. 1);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per x reale e maggiore di 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ (–∞ .. 0], detta “identità di Landen” (J. Landen, 1780);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ [1 .. ∞);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per x reale e maggiore di 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per Re(z) ≤ 0 o z ∉ [0 .. ∞);

Formula che coinvolge la funzione Li2;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ [0 .. 1];

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ (–∞ .. 0];

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 o Re(z) ≤ 0 o Im(z) ≥ 0;

Formula che coinvolge la funzione Li2;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ [0 .. 1);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per Im(z) > 0 o z reale e maggiore di 0 (formula di duplicazione di Abel);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per z ∉ (–∞ .. –1] e z ∉ [1 .. –∞);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e |w| < 1, oppure w < 1 e z < 1, oppure 0 < w < –z, oppure 0 < z < –w (W. Spence, 1809);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e |w| < 1, oppure w e z reali e minori di 1 (N. Abel, 1830);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per x = y = 0 oppure Re(x) ≤ 1 / 2Re(y) ≤ 1 / 2 oppure Im(x) > 0 e Im(y) > 0 oppure Im(x) < 0 e Im(y) < 0 (identità di Abel, 1881), da cui Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e |w| < 1, oppure wz < 1, oppure z > 1 e w > 1, oppure Im(w) ≥ 0 e Im(z) ≥ 0, oppure Im(w) ≤ 0 e Im(z) ≤ 0 (L. Rogers, 1906);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per w e z reali e entrambi maggiori di 1 o entrambi minori di 1 (C.J. Hill, 1830);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 |w| < 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e 0 < w < 1, oppure |w| < 1 e 0 < z < 1, oppure w reale e maggiore di zero e z reale e minore di 1 (W. Schaeffer, 1846);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per w > 0 e z reale, oppure |w| < 1 e 0 < z < 1, oppure z > w e wz > 1 (E. Kummer, 1840);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e 0 < w < 1, oppure |w| < 1 e 0 < z < 1, oppure z < 1 e 0 < w < 1, oppure w < 1 e 0 < z < 1, oppure w + z > 1 e w < 0, oppure w + z > 1 e z < 0;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 e 0 < w < 1, oppure |w| < 1 e 0 < z < 1, oppure w e z reali e maggiori di 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |x| < 2, |y| < 2, |z| < 2 e x + y + z = xyz + 2;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |x| < 2, |y| < 2, |z| < 2 e xy + xz + yz = xyz;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |x| < 1, |y| < 1, |z| < 1 e 1 / x + 1 / y + 1 / z = 1 (formula di Newman);

Li2(–x2) + Li2(–y2) + Li2(–x2) = 2(Li2(xy) + Li2(xz) + Li2(yz));

Formula che coinvolge la funzione Li2, per (1 – x)(1 – y) = (1 – w)(1 – z), e x, y, w e z compresi tra 0 e 1 (W. Mantel, 1898);

Formula che coinvolge la funzione Li2, per x ≥ 1;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| ≤ 1 e z diverso da –1 (Donal F. Connon);

Formula che coinvolge la funzione Li2;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per x reale;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per 0 ≤ x ≤ 2π e in particolare Formula che coinvolge la funzione Li2, dove C è la costante di Catalan;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per 0 ≤ x ≤ 2π;

Formula che coinvolge la funzione Li2;

Formula che coinvolge la funzione Li2, per |z| < 1 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006).

 

Alcuni dilogaritmi di valori razionali o irrazionali quadratici possono essere espressi in termini di costanti semplici o valori di funzioni elementari:

  • Formula per Li2(–1);

  • Li2(0) = 0;

  • Formula per Li2(1 / 2);

  • Formula per Li2(1);

  • Formula per Li2(2);

  • Formula per Li2(–φ);

  • Formula per Li2(–1 / φ);

  • Formula per Li2(1 / φ^6);

  • Formula per Li2(1 / φ^2);

  • Formula per Li2(1 / φ);

  • Formula per Li2(φ);

  • Formula per Li2(φ^2).

 

Alcune somme notevoli di dilogaritmi:

  • Formula per una somma di dilogaritmi (Ramanujan);

  • Formula per una somma di dilogaritmi (Ramanujan);

  • Formula per una somma di dilogaritmi (Ramanujan);

  • Formula per una somma di dilogaritmi (Ramanujan);

  • Formula per una somma di dilogaritmi (Ramanujan);

  • Formula per una somma di dilogaritmi (D.H. Bailey, P. Borwein e S. Plouffe, 1997);

  • Formula per una somma di dilogaritmi, dove S1 è il primo numero di Salem, ossia la massima radice positiva dell’equazione x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1 = 0 e vale circa 1.1762808183 (D.H. Bailey e D.J. Broadhurst, 1999).

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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