Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Non tozienti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si dicono “non tozienti” gli interi positivi che non sono valori della funzione φ.

 

Tranne φ(1) = 1, i valori della funzione φ di Eulero sono tutti pari, quindi tutti i numeri dispari maggiori di 1 sono non tozienti.

 

In particolare sono non tozienti i numeri:

  • 2ab, se 2ab + 1 non è un primo, 2mp + 1 non è primo e a ≠ 2b + 1 (Alois Pichler, 1900);

  • n2 + 1, se n2 + 2 è composto;

  • nk + 1, se nk + 2 è composto e n è 3 o n ≡ 1 mod 4;

  • 2pn, se p è un primo maggiore di 3 e 2pn + 1 non è primo (Alois Pichler, 1900);

  • 2np, se p non è un primo della forma Formula per i primi di Fermat (cioè se non è un primo di Fermat), con 2kn, e 2mp + 1 non è primo per alcun m < n (Alois Pichler, 1900); in particolare 2n • 78557 + 1 è composto per ogni valore intero di n, e quindi 2n • 78557 è non toziente, (J.L. Selfridge, 1963); Mendelsohn dimostrò nel 1976 che questa proprietà di 78557 è condivisa da infiniti primi;

  • 2np per tutti i valori positivi di n, se p è primo della forma 5592405n + 271129 (J.L. Selfridge, 1963);

  • 2 • 7n per qualsiasi valore intero di n (A. Schinzel, 1956).

 

Se p è primo, non possono essere non tozienti tutti i numeri della forma pk(p – 1) con k ≥ 0, perché φ(pn) = pn – 1(p – 1).

 

Per ogni intero k esiste almeno un valore di n tale che 2kn sia non toziente (Ore, 1961); J. L. Selfridge dimostrò nel 1963 che per ogni k > 0 esiste un tale valore di n non superiore a 271129.

 

I numeri non tozienti pari minori di 100 sono: 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98.

Qui trovate i numeri non tozienti pari minori di 10000 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Xhang Mingzhi dimostrò nel 1991 che:

  • un intero n = 2k con k dispari e k > 1 è non toziente se e solo se n + 1 e composto e n / p diverso da p – 1, dove p è il massimo primo che divide n;

  • un intero n = 2apk, con p primo, k dispari non multiplo di p e 2mp + 1 composto per tutti di valori di m con 1 ≤ ma, è non toziente se e solo p – 1 è divisibile per 2b con b > a oppure MCD(p – 1, k) = 1, inoltre esiste un valore r, prodotto dei divisori primi dei vari numeri 2mp + 1 definiti sopra, scegliendo un primo per ogni valore di m, tale che tutti i primi dispari che dividono k diano resto 1 se divisi per r;

  • per ogni intero n esiste almeno un primo p, tale che np sia non toziente;

  • se 2nk è non toziente per ogni valore di n maggiore di zero e k = ab, con a e b primi tra loro, allora o 2na è non toziente per ogni valore di n maggiore di zero o 2nb è non toziente per ogni valore di n maggiore di zero.

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.