Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Valori
  4. 4. Legami con i valori di altre funzioni

La tabella seguente riporta i valori della funzione σ(n) per n fino a 20

n

σ(n)

1

1

2

3

3

4

4

7

5

6

6

12

7

8

8

15

9

13

10

18

11

12

12

28

13

14

14

24

15

24

16

31

17

18

18

39

19

20

20

42

 

Il minimo valore che la funzione non produce è 2.

Il minimo valore che la funzione produce una sola volta è 1: σ(1) = 1.

 

K. Ford e S. Konyagin nel 1999 dimostrarono la congettura di Sierpiński, vale a dire che tutti i numeri naturali, zero incluso, capitano come numeri di occorrenze della funzione σ. In altre parole, per ogni n vi è almeno un insieme di esattamente n interi che hanno lo stesso valore della somma dei divisori.

 

La tabella seguente mostra i minimi insiemi di esattamente n numeri naturali con la stessa somma dei divisori, per n fino a 20.

n

Numeri

Somma dei divisori

0

-

2

1

1

1

2

6, 11

12

3

14, 15, 23

24

4

42, 62, 69, 77

96

5

30, 46, 51, 55, 71

72

6

60, 78, 92, 123, 143, 167

168

7

114, 135, 158, 177, 203, 209, 239

240

8

132, 140, 182, 188, 195, 249, 287, 299

336

9

120, 174, 184, 190, 267, 295, 319, 323, 359

360

10

204, 220, 224, 246, 284, 286, 334, 415, 451, 503

504

11

210, 282, 310, 322, 345, 357, 382, 385, 497, 517, 527

576

12

480, 636, 736, 748, 830, 902, 1006, 1105, 1255, 1391, 1411, 1511

1512

13

408, 440, 534, 568, 590, 638, 646, 718, 807, 895, 979, 1003, 1007

1080

14

390, 460, 476, 498, 574, 598, 615, 663, 715, 753, 835, 913, 923, 943

1008

15

264, 270, 280, 354, 376, 406, 418, 435, 459, 478, 537, 623, 649, 667, 719

720

16

930, 966, 1146, 1155, 1270, 1426, 1491, 1551, 1581, 1645, 1705, 1771, 1915, 2101, 2159, 2201

2304

17

1080, 1416, 1566, 1624, 1672, 1912, 1990, 2086, 2235, 2242, 2403, 2755, 2995, 3143, 3383, 3401, 3427

3600

18

1860, 1932, 2292, 2418, 2540, 2852, 3003, 3122, 3302, 3345, 3507, 3813, 4277, 4433, 4979, 5129, 5177, 5207

5376

19

864, 984, 1068, 1144, 1180, 1276, 1292, 1336, 1390, 1436, 1534, 1558, 1678, 1885, 2095, 2327, 2363, 2407, 2419

2520

20

870, 918, 920, 952, 1074, 1246, 1298, 1334, 1335, 1431, 1438, 1479, 1595, 1615, 1795, 1883, 1969, 2033, 2047, 2059

2160

 

I valori della funzione σ primi sono tutti e soli i primi p della forma Forma dei primi che sono valori della funzione σ con q primo e n > 1, ovvero i primi che sono uguali alla somma di potenze con esponente crescente a partire da zero di un altro primo (v. primi uguali a somme di potenze).

 

Esistono coppie di quadrati con lo stesso valore della funzione; il minimo esempio è σ(42) = σ(52) = 31.

 

Per ogni esponente fissato k, per m abbastanza grande gli interi n tali che σ(n) sia una potenza k-esima sono almeno m0.7 (Freiberg, 2010).

I valori di n inferiori a 1000 per i quali σ(n) sia un quadrato sono: 1, 3, 22, 66, 70, 81, 94, 115, 119, 170, 210, 214, 217, 265, 282, 310, 322, 343, 345, 357, 364, 382, 385, 400, 472, 497, 510, 517, 527, 642, 651, 679, 710, 742, 745, 782, 795, 820, 862, 884, 889, 930, 935, 966, 970.

Qui trovate quelli inferiori a 107 (M. Fiorentini, 2019).

I valori di n inferiori a 10000 per i quali σ(n) sia un cubo sono: 1, 7, 102, 110, 142, 159, 187, 381, 690, 714, 770, 994, 1034, 1054, 1065, 1113, 1164, 1173, 1265, 1293, 1309, 1633, 1643, 2667, 3638, 3937, 4505, 4830, 4855, 5373, 5671, 5730, 5997, 6486, 6517, 6906, 7130, 7238, 7378, 7455, 7755, 7905, 8148, 8211, 8426, 8786, 8855, 9051, 9741, 9951.

Qui trovate quelli inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2019).

I valori di n inferiori a 105 per i quali σ(n) sia un biquadrato sono: 1, 217, 510, 642, 710, 742, 782, 795, 862, 935, 1177, 1207, 1219, 2667, 3937, 7590, 7854, 8743, 9481, 9798, 9858, 10810, 10934, 11186, 11235, 11510, 11594, 11715, 11985, 12082, 12243, 12903, 12945, 13022, 13462, 13587, 13685, 13822, 14223, 15085, 15087, 15132, 16235, 16585, 16685, 17227, 17437, 17963, 18073, 18137, 18377, 19567, 19849, 20057, 20257, 20299, 20437, 33607, 52482, 56710, 57337, 61222, 65595, 68582, 82535, 91847, 94311, 96217, 96407.

Qui trovate quelli inferiori a 109 (M. Fiorentini, 2019).

 

La tabella seguente mostra i valori di n minori di 107 per i quali σ(n) sia una potenza con esponente k maggiore di 4.

k

Valori di n

5

1, 21, 31, 651, 889, 3210, 3498, 3710, 3882, 3910, 4310, 4922, 4982, 5182, 5457, 5885, 6035, 6095, 6307, 6797, 7117, 7327, 7597, 24573, 27559, 71193, 82110, 90510, 94981, 97410, 98671, 99301, 99510, 100110, 103362, 104622, 107778, 108438, 108822, 110262, 114310, 115010, 117402, 118910, 119094, 120342, 121210, 121542, 121794, 122622, 123046, 123585, 126610, 126735, 127995, 131835, 132902, 133610, 135610, 135890, 138782, 141722, 142395, 143242, 148082, 148695, 149362, 149457, 150535, 151845, 152042, 152582, 153502, 153867, 154442, 159537, 160642, 163442, 164338, 164642, 165935, 165957, 169167, 170187, 171879, 176015, 178585, 178779, 182435, 183009, 183535, 183819, 186621, 187085, 188945, 189497, 191807, 194327, 195517, 199507, 202147, 202805, 204905, 210707, 212863, 214207, 215237, 218339, 220627, 222827, 223289, 224807, 227137, 230484, 230537, 231013, 232829, 235507, 247801, 307324, 436891, 761763, 865986, 892194, 917497, 918470, 962170, 964070, 1005790, 1038970, 1040257, 1040774, 1115115, 1132186, 1165894, 1233374, 1242074, 1256474, 1390773, 1403733, 1417173, 1508915, 1552415, 1561399, 1574635, 1622383, 1635689, 1709843, 1766249, 1791909, 1842939, 1884763, 1994601, 2056971, 2072091, 2085321, 2159973, 2206983, 2246997, 2399997, 2497110, 2545410, 2658810, 2764447, 2784607, 2805810, 2847810, 2853690, 2906970, 2944411, 2962410, 2975610, 3000499, 3008082, 3013837, 3018141, 3019710, 3044190, 3058801, 3078331, 3103410, 3109722, 3132930, 3136602, 3192882, 3204222, 3223542, 3243282, 3277362, 3288030, 3341118, 3368061, 3373482, 3382610, 3418122, 3432282, 3451098, 3457482, 3475990, 3543610, 3570402, 3612642, 3639462, 3686210, 3691914, 3750285, 3752634, 3767802, 3775614, 3786790, 3801282, 3814426, 3815286, 3824202, 3831135, 3831590, 3832098, 3848529, 3854235, 3924910, 3928785, 3943806, 3967845, 4076842, 4086885, 4119962, 4123690, 4140230, 4187722, 4203910, 4212590, 4237990, 4245087, 4257638, 4258905, 4284238, 4302242, 4303005, 4341230, 4361530, 4366642, 4368045, 4375658, 4393382, 4408330, 4414245, 4423670, 4428998, 4440502, 4486845, 4519977, 4542362, 4547438, 4558106, 4561755, 4562602, 4585119, 4590255, 4590542, 4606798, 4609545, 4627406, 4630222, 4633167, 4666585, 4667758, 4678545, 4679367, 4688205, 4689069, 4707195, 4713302, 4720947, 4745355, 4758562, 4769877, 4803826, 4836502, 4841277, 4851273, 4872255, 4883685, 4889409, 4935855, 4941849, 4945647, 4957935, 4970018, 5036097, 5036461, 5041646, 5058537, 5066702, 5094478, 5103902, 5108829, 5143985, 5144667, 5145278, 5147341, 5155946, 5190998, 5203821, 5220985, 5231765, 5241355, 5245449, 5275797, 5293826, 5295266, 5328249, 5341315, 5365115, 5418455, 5439489, 5447409, 5456465, 5474271, 5536135, 5542149, 5563355, 5581015, 5589651, 5638749, 5669661, 5673279, 5680149, 5689585, 5698389, 5743705, 5750437, 5769155, 5777555, 5778321, 5785251, 5806045, 5874407, 5888811, 5909827, 5924931, 5946017, 6024137, 6028055, 6184717, 6218005, 6221155, 6266557, 6266795, 6286955, 6292517, 6294755, 6327013, 6338717, 6352055, 6390355, 6428105, 6437543, 6453804, 6497045, 6513703, 6530321, 6597941, 6598753, 6600005, 6640417, 6672347, 6678371, 6723773, 6753733, 6768509, 6879829, 6907637, 6921959, 6946471, 6953191, 6967289, 6969017, 6994691, 7011037, 7025513, 7038391, 7145004, 7146647, 7161403, 7204583, 7217699, 7230311, 7276211, 7299444, 7316724, 7380091, 7414601, 7470791, 7488317, 7494161, 7520239, 7568311, 7602167, 7681831, 7747151, 7747381, 7758431, 7781671, 7796689, 7827371, 7873684, 7888789, 7900289, 7943640, 7953461, 7954561, 8028120, 8099880, 8631576, 8657496, 8747784, 8909736, 8911029, 9112230, 9229656, 9233544, 9342520, 9395304, 9449720, 9527044, 9538728, 9561990, 9651624, 9677544, 9688584, 9733756, 9757156, 9840280, 9895960

6

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7

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8

1, 217, 57337, 600270, 621690, 669990, 685290, 693294, 693770, 699810, 725934, 747670, 769930, 774894, 782598, 805970, 813378, 823938, 835670, 839802, 854930, 865490, 873334, 895594, 918435, 920414, 923410, 931634, 935715, 959565, 965174, 969034, 969206, 1004014, 1006258, 1010163, 1010614, 1014574, 1023434, 1033906, 1034115, 1038435, 1040434, 1050778, 1073042, 1080723, 1110742, 1116722, 1131603, 1138983, 1139765, 1164993, 1189677, 1200185, 1207923, 1220253, 1228315, 1233327, 1255503, 1256365, 1264885, 1271039, 1282985, 1321835, 1332685, 1355785, 1386185, 1394285, 1408267, 1420639, 1434763, 1438717, 1471333, 1491193, 1510553, 1539637, 1569797, 1585643, 1592267, 1595353, 1611677, 1621853, 1656217, 1663957, 1666367, 1670677, 1674859, 1676377

9

1, 381, 172011, 253921, 3466470, 3629670, 3874470, 3912990, 4041114, 4049094, 4066890, 4119690, 4199010, 4222086, 4224318, 4363674, 4366670, 4477970, 4550106, 4569114, 4602070, 4654974, 4658170, 4665378, 4685574, 4703934, 4732158, 4825870, 4845170, 4846030, 4945218, 5011458, 5020070, 5027838, 5031290, 5050815, 5053070, 5072870, 5117170, 5169530, 5202170, 5253890, 5280814, 5315254, 5365210, 5403615, 5436634, 5551826, 5553710, 5565494, 5583610, 5636974, 5658015, 5694514, 5694915, 5755526, 5816074, 5824965, 5859014, 5863814, 5940854, 5948385, 5965454, 5977234, 6013274, 6039615, 6099214, 6101265, 6134854, 6166635, 6235898, 6254674, 6277515, 6305674, 6316858, 6337443, 6355195, 6438482, 6441614, 6480454, 6494938, 6507526, 6520143, 6548614, 6593942, 6613467, 6638973, 6652083, 6700202, 6782523, 6913713, 7003473, 7041335, 7103195, 7138317, 7168893, 7173815, 7193585, 7256283, 7303983, 7332603, 7356665, 7423339, 7455965, 7487967, 7518333, 7547583, 7552765, 7558269, 7698185, 7744583, 7848985, 7928215, 7961335, 7976765, 8000069, 8058385, 8109265, 8203979, 8238251, 8281085, 8285543, 8319785, 8331835, 8353385, 8374295, 8381885, 8534119, 8553193, 8590219, 8623879, 8654317, 8675623, 8931613, 9066233, 9120857, 9187673, 9217703, 9260743, 9355273, 9441307, 9455507, 9492137, 9624973, 9625523, 9749933, 9762737, 9829433, 9937657

10

1, 651, 889, 761763, 917497, 1040257

11

1, 2752491, 3120771, 3670009

12

1, 2667, 3937

13

1, 8191

14

1, 11811

15

1, 24573, 27559

16

1, 57337

17

1, 82677, 131071

18

1, 172011, 253921

19

1, 393213, 524287

20

1, 761763, 917497, 1040257

21

1, 1572861, 1777447

22

1, 2752491, 3120771, 3670009, 4063201

23

1, 5332341, 7281799

 

Si conoscono vari casi nei quali σ(nm) è una potenza.

 

Gli interi inferiori a 106 per i quali σ(n2) è un quadrato sono: 1, 9, 20, 180, 1306, 1910, 11754, 17190, 32486, 38423, 47576, 48202, 50920, 51590, 83884, 104855, 132682, 198534, 247863, 292374, 300876, 312374, 313929, 334330, 345807, 376095, 428184, 433818, 458280, 464310, 469623, 498892, 623615, 754956, 768460, 787127, 943695, 985369.

Qui trovate gli interi inferiori a 109 per i quali σ(n2) è un quadrato (Zak Seidov e Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli interi noti inferiori a 1018 per i quali σ(n2) è un cubo sono: 1, 43098 (A.S. Bang, 1878), 20746664124, 21531558370, 25933330155, 30519275171, 453393100534, 803844998180, 1233758294601, 2358796315843, 6260406046762, 7339897643091, 7540242750903, 8532869860592, 11879890160946, 17538398093508, 21922997616885, 479723640773104, 829069410027792, 887362872394460, 893541895560996, 894639612877410, 1116927369451245, 2079515908352980, 2597942466059820, 3877747350407410, 12795628472197548, 15994535590246935, 18510413457321456, 33966669473994703, 35872126647946260, 42561793509320022, 129132188304448846, 134756397241173840, 222194923178344593, 330491681522109030, 755364495415325532, 756292461625909470, 944205619269156915 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Non ve ben sono altri inferiori a 9 • 1011 I. Kaplansky e Will Jagy, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Gli interi inferiori a 1011 per i quali σ(n3) è un quadrato sono: 1, 7 (Fermat), 751530 (Wallis, 1658), 4730879 (David W. Wilson), 5260710, 33116153, 37200735, 187062910, 226141311, 259109835, 260405145, 370049418, 522409465, 836308083, 1105725765, 1309440370, 1343713507, 1582989177, 1609505430, 1813768845, 2590345926, 3039492538, 3656866255, 5854156581, 7109214762, 7740080355, 9405994549, 11266538010, 20145398286, 21276447766, 22889024957, 24839708520, 44584153947, 49316447830, 49764503334, 51303747330, 59480154024, 78339618370, 79670518785, 86415819433 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Si suppone che per ogni intero k esistano infiniti interi n tali che σ(n2) sia una potenza k-esima e infiniti interi n tali che σ(n3) sia una potenza k-esima, ma non si conosce una dimostrazione.

 

Un caso notevole nel quale σ(n3) è un cubo è σ(35909189788169384693015732916053) = 77889369782241344447756483081606857731040639599754064764106372415630606336000000000000000000 = 42706377038684225572392960000003 (te Riele).

 

L’unico primo p per il quale σ(p3) sia un quadrato è 7: σ(73) = 400 = 202.

 

L’unico primo p per il quale σ(p4) sia un quadrato è 3: σ(34) = 121 = 112.

 

Ci sono infiniti valori che σ(n) – n non può assumere (v. numeri intoccabili).

 

Ci sono infiniti valori che σ(n) non può assumere (v. numeri intoccabili di seconda specie).

 

La funzione Somma dei reciproci di σ(k), per k da 1 a n tende a infinito, ma cresce molto lentamente; la tabella seguente riporta i minimi valori di n per i quali raggiunga o superi m (Lekraj Beedassy, Labos Elemer, Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

m

n

1

1

2

7

3

29

4

129

5

571

6

2525

7

11167

8

49372

9

218295

10

965177

11

4267457

12

18868240

13

83424514

14

368855252

15

1630865929

 

Per ogni intero positivo fissato k, si ritiene che esistano infinite soluzioni dell’equazione σ(n) = σ(n + k), ma non è stati dimostrato.

La tabella seguente riporta le soluzioni per n < 10000 e k sino a 20.

k

n

1

14, 206, 957, 1334, 1364, 1634, 2685, 2974, 4364

2

33, 54, 284, 366, 834, 848, 918, 1240, 1504, 2910, 2913, 3304, 4148, 4187, 6110, 6902, 7169, 7912, 9359

3

382, 8922

4

51, 66, 115, 220, 319, 1003, 2585, 4024, 4183, 4195, 5720, 5826, 5959, 8004, 8374

5

6, 46, 1030, 2673, 4738, 4785

6

20, 155, 182, 184, 203, 264, 621, 650, 702, 852, 893, 944, 1343, 1357, 2024, 2544, 2990, 4130, 4183, 4450, 5428, 5835, 6149, 6313, 6572, 8177, 8695

7

10, 62, 188, 362, 759, 1178, 1214, 1431, 1442, 1598, 1695, 1748, 2235, 3495, 6699, 9338, 9945

8

15, 69, 87, 102, 132, 175, 230, 638, 689, 1127, 1349, 1392, 2006, 5170, 6680, 8366, 8390

9

14, 16, 46, 446, 1146

10

21, 174, 270, 517, 572, 913, 992, 1002, 1420, 1633, 1830, 2622, 2958, 4170, 4747, 5539, 7520, 7544, 7729

11

28, 154, 466, 874, 958, 1054, 2266, 2878

12

35, 104, 285, 287, 310, 329, 340, 345, 406, 609, 660, 736, 767, 957, 1067, 1207, 1242, 1768, 1786, 1817, 1824, 2047, 2288, 2407, 2672, 2686, 2714, 3009, 4012, 4387, 4653, 4847, 6179, 7532, 8366, 8920

13

182, 782, 1965, 2486, 2678, 2685

14

24, 33, 68, 78, 141, 428, 486, 726, 1136, 1240, 1343, 1349, 1495, 1941, 1988, 2033, 2035, 2391, 2514, 2562, 2759, 4301, 4862, 5330, 5838, 5936, 6426, 8418, 8634, 8680

15

26, 62

16

30, 55, 138, 174, 204, 205, 264, 350, 355, 460, 1276, 1293, 1378, 2254, 2698, 3277, 3669, 4012, 9853

17

142, 238, 418, 429, 598, 622, 2985, 3502

18

40, 60, 65, 235, 248, 350, 395, 410, 465, 546, 552, 609, 649, 781, 1909, 1950, 2489, 2556, 2673, 2679, 2832, 3131, 3379, 3383, 3458, 4029, 4071, 4681, 5434, 6072, 6230, 7432, 7632, 7831, 8909, 8970

19

34, 158, 226, 266, 459, 3045, 3518, 3914, 4305, 6236, 8307

20

42, 51, 123, 141, 204, 371, 497, 708, 923, 992, 1034, 1343, 1391, 1484, 1595, 1691, 1826, 3266, 3317, 5015, 5152, 7367, 8003, 9132, 9287, 9494

 

Gli interi inferiori a 106 tali che σ(n) = σ(n + 1) sono: 14, 206, 957, 1334, 1364, 1634, 2685, 2974, 4364, 14841, 18873, 19358, 20145, 24957, 33998, 36566, 42818, 56564, 64665, 74918, 79826, 79833, 84134, 92685, 109214, 111506, 116937, 122073, 138237, 147454, 161001, 162602, 166934, 174717, 190773, 193893, 201597, 230390, 274533, 289454, 347738, 383594, 416577, 422073, 430137, 438993, 440013, 445874, 455373, 484173, 522621, 544334, 605985, 621027, 649154, 655005, 685995, 695313, 739556, 792855, 937425, 949634.

Vi sono 10135 interi del genere inferiori a 1013 (T.D. Noe e Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate gli interi tali che σ(n) = σ(n + 1) inferiori a 1013 (T.D. Noe e Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Non si conosce alcuna sequenza di 3 interi consecutivi con la stessa somma dei divisori; se esiste, i numeri sono maggiori di 1012 (T.D. Noe).

 

Esistono però progressioni aritmetiche di interi con la stessa somma dei divisori, probabilmente di qualsiasi lunghezza.

 

La minima progressione aritmetica di 3 interi con la stessa somma dei divisori inizia con 267 con differenza 28 tra i termini successivi e somma dei divisori uguale a 360.

 

La minima progressione aritmetica nota di 4 interi con la stessa somma dei divisori inizia con 34560288 con differenza 2138892 tra i termini successivi e somma dei divisori uguale a 119508480 (Frederick Schneider, 2008).

 

Se 16n – 1, 18n – 1, 21n – 1, 28n – 1, 36n – 1, 48n – 1, 56n – 1, 63n – 1 sono tutti primi, (16n – 1)(63n – 1), (18n – 1)(56n – 1), (21n – 1)(48n – 1) e (28n – 1)(36n – 1) sono 4 interi in progressione aritmetica con differenza 5n tra termini successivi e somma dei divisori uguale a 1008n2 (Jaroslaw Wroblewski, 2007).

I valori di n inferiori a 109 che soddisfano i requisiti sono: 273168, 15822714, 33898854, 57736080, 60816420, 65753688, 78958764, 115349388, 124859070, 275664114, 332787378, 439791924, 510191358, 619055904, 622297704, 658118268, 658530978, 730356588, 745235970, 752102274, 760189260, 829385364, 914467218, 927158568, 959670024 (M. Fiorentini, 2020).

La minima progressione ottenuta in questo modo è formata da 75217700693521, 75217702059361, 75217703425201 e 75217704791041, con somma dei divisori 75217722273792.

 

Se 91n – 1, 100n – 1, 112n – 1, 130n – 1, 175n – 1, 208n – 1, 280n – 1, 325n – 1, 364n – 1, 400n – 1 sono tutti primi, (91n – 1)(400n – 1), (100n – 1)(364n – 1), (112n – 1)(325n – 1), (130n – 1)(280n – 1) e (175n – 1)(208n – 1) sono 5 interi in progressione aritmetica con differenza 27n tra termini successivi e somma dei divisori uguale a 36400n2 (Jaroslaw Wroblewski, 2007).

L’unico valore di n inferiore a 109 che soddisfi i requisiti è 213990, dal quale si ottiene la progressione formata da 1666818506570911, 1666818512348641, 1666818518126371, 1666818523904101 e 1666818529681831, con somma dei divisori 1666818611640000 (M. Fiorentini, 2020).

 

Se la congettura di Dickson è vera, esistono infiniti valori di n che soddisfano i requisiti per le progressioni aritmetiche di 4 e 5 interi con la stessa somma dei divisori.

 

Moltiplicando ogni progressione per un qualsiasi intero primo rispetto a tutti i membri della progressione, si ottengono infinite altre progressioni con la stessa proprietà.

La tabella seguente riporta le soluzioni dell’equazione σ(n + k) = σ(n) + k, con n composto fino a 109, per k sino a 20.

k

n

2

434, 8575, 8825

4

305635357

5

6

6

104, 147, 596, 1415, 4850, 5337, 370047, 1630622, 35020303, 120221396

7

10, 74, 531434, 387420482

8

15, 27, 1615, 1885, 218984, 4218475, 312016315, 746314601

9

14

10

21, 195556

12

35, 65, 170, 209, 1394, 3393, 4407, 4556, 11009, 13736, 27674, 38009, 38845, 47402, 76994, 157994, 162393, 184740, 186686, 209294, 680609, 825359, 954521, 1243574, 2205209, 3515609, 4347209, 5968502, 6539102, 6916241, 8165294, 10352294, 10595009, 10786814, 11022029, 11213954, 12006209, 12291002, 12984434, 13657382, 18592946, 24400934, 26979254, 30020714, 31979009, 36398366, 40830542, 49560074, 56813894, 59633273, 64724822, 75298994, 77267942, 77765642, 82521134, 86071994, 88071614, 89019209, 91001726, 109994966, 112402574, 113733134, 118497482, 124646894, 128085794, 162803474, 169130009, 172904714, 188065286, 210396302, 244296134, 244766009, 247590209, 258084209, 259953362, 268350722, 277608986, 279808442, 281726306, 290806694, 294702362, 299936906, 323002502, 325622009, 339106562, 357777209, 377330609, 395452646, 441630209, 496175609, 554955794, 571341662, 592788122, 640343009, 676910294, 783859994, 828985202, 877200902, 881293274, 950389262, 990832994

13

4418

14

12, 33, 1224710

15

26

16

39, 55, 9175, 3533791, 4239851, 6788719, 18084811, 25976419

17

16

18

20, 65, 136, 232, 356, 1078, 2650, 4150, 6850, 26510, 44631, 3853750, 24877919, 29725216, 97656232

19

6, 34

20

51, 56, 1880, 279292709

 

Se n è abbondante σ(n) = 2n + k e vi sono generalmente molti valori di n per ogni k fissato, ma per alcuni valori dispari k sembrano essercene in numero finito:

  • l’unico valore di n inferiore a 1012 per k = 17 è 100;

  • l’unico valore di n inferiore a 1012 per k = 115 è 144.

 

Vi sono infinite coppie di interi x e y tali che σ(x) – x = σ(y) – y, in particolare tutte quelle formate da due numeri primi distinti, perché se p è primo, σ(p) – p = 1. La minima coppia di interi x e y tali che σ(x) – x = σ(y) – y è formata da 6 e 25: σ(6) – 6 = σ(25) – 25 = 6.

La minima coppia di interi x e y tali che σ(x2) – x2 = σ(y2) – y2 è (11968, 14366): σ(119682) – 119682 = σ(143662) – 143662 = 191213697 (Luke Pebody, 2007); il minimo valore della differenza comune si ha per la coppia (15021, 15843): σ(150212) – 150212 = σ(158432) – 158432 = 111624510 (Frederick Schneider, 2008).

 

Sono note alcune soluzioni dell’equazione σ(n) = 2n + km con m > 1; in quasi tutte k è pari, tanto che per un po’ alcuni supposero che k non potesse essere dispari (v. congettura di Kravitz). La tabella seguente riporta le soluzioni per n inferiore a 1000.

n

k

m

12

2

2

56

2

3

70

2

2

88

2

2

108

2

6

168

12

2

220

2

6

288

3

5

312

6

3

348

12

2

368

2

3

550

2

4

564

6

3

572

2

5

580

10

2

726

12

2

748

2

4

798

18

2

836

2

3

860

2

7

910

14

2

918

18

2

952

2

8

992

2

5

 

Sono note alcune soluzioni dell’equazione σ(n) = 2nkm con m > 1; anche in questo caso in quasi tutte k è pari, tranne i casi banali con n potenza di 2, per i quali k = 1. La tabella seguente riporta le soluzioni per n inferiore a 1000 con k > 1.

n

k

m

14

2

2

22

2

3

38

2

4

44

2

2

92

2

4

98

5

2

110

2

2

130

2

3

134

2

6

152

2

2

170

2

4

172

6

2

184

2

3

206

10

2

248

2

4

250

2

5

262

2

7

284

2

6

325

6

3

374

10

2

376

2

5

398

14

2

410

2

6

428

10

2

434

10

2

442

2

7

590

10

2

604

12

2

632

2

6

638

14

2

730

2

7

752

2

4

884

2

2

892

6

3

974

22

2

988

2

4

 

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Melfi, Giuseppe;  On some Modular Identities, Articolo disponibile in rete, 1998.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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