Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Valori
  4. 4. Legami con i valori di altre funzioni

Alcune proprietà:

  • la funzione σ è moltiplicativa;

  • σ(n) è dispari se e solo se n è un quadrato o il doppio di un quadrato;

  • σ(n) è una potenza di 2 se e solo se n è 1 o il prodotto di primi di Mersenne distinti;

  • σ(n) = n + 1 se e solo se n è primo;

  • σ(24n – 1) è un multiplo di 24;

  • la congruenza nσ(n) ≡ 2 mod φ(n) vale se e solo se n è 4, 6, 22 o primo e maggiore di 3 (M.V. Subbarao 1974);

  • σ(16n) = σ(25n) per qualsiasi n non multiplo di 2 o 5, quindi esistono infiniti casi di numeri diversi con la stessa somma di divisori;

  • l’insieme degli interi per i quali σ(n) è un multiplo di n ha densità asintotica nulla;

  • l’insieme degli interi per i quali σ(n) è un divisore di n ha densità asintotica nulla;

  • per ogni quadrato fissato k2, l’insieme degli interi n tali che σ(n) sia multiplo di k2 ha densità asintotica 1;

  • per ogni m > 2, esiste un intero n maggiore di m tale che Formula che coinvolge la funzione σ (Sadegh Nazardonyavi e Semyon Yakubovich, 2014);

  • Formula per la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ (E. Cesaro, 1878);

  • Limite superiore per i valori della funzione σ (teorema di Gronwall);

  • Limite inferiore per i valori della funzione σ (Ramanujan);

  • Limite superiore per i valori della funzione σ (Ramanujan);

  • σ(n) < Hn + 2eHnlog(Hn) (Jeffrey Lagarias, 2002);

  • Somma che coinvolge la funzione σ, per s > 2;

  • Formula che coinvolge la funzione σ (J. Touchard, 1953);

  • Formula che coinvolge la funzione σ (J. Touchard, 1953);

  • Formula che coinvolge la funzione σ (D. Lanphier, 2004);
  • Formula che coinvolge la funzione σ tende a infinito (Florian Luca, 2007);

  • i valori di σ(σ(n)) / n sono densi tra 1 e infinito;

  • Limite che coinvolge la funzione σ;

  • la funzione generatrice è Funzione generatrice della funzione σ e quindi Somma che coinvolge la funzione σ, per |x| < 1;

  • Somma che coinvolge la funzione σ è irrazionale (Paul Erdös e M. Kac, 1954).

 

In queste formule Π(n) è il prodotto dei primi che dividono n, ciascuno preso una sola volta col segno negativo.

 

Se p è primo, valgono le seguenti identità:

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ;

  • Somma che coinvolge la funzione σ.

 

Chiamando m2(n) l’esponente della massima potenza di 2 che divide n, se p è primo abbiamo che m2(σ(pk)) vale Formula per m2(σ(p^k)), se p e k sono dispari, 0 altrimenti, mentre m2(σ(pk) – 1) vale:

  • 0, se p e k sono dispari;

  • Formula per m2(σ(p^k) – 1), se p è dispari e k è pari;

  • 1, se p è 2.

 

La funzione è molto irregolare: σ(n) scende infinite volte a n + 1, quando n è primo, ma supera anche infinite volte kn, per qualsiasi valore di k; più precisamente esiste una costante c tale che σ(n) > cnloglogn per infiniti valori di n.

 

Un limite superiore per i valori è Limite superiore per la funzione σ, tranne che per n = 2, 3, 4, 6, 8 e 12.

 

D. Suryanarayana dimostrò nel 1964 che se n è un intero dispari non divisibile per 3, Limite superiore per la funzione σ, dove p è il minimo fattore primo di n.

 

Per quanto riguarda il limite inferiore, se n è composto, Limite inferiore per la funzione σ con argomenti composti.

 

Guy Robin dimostrò nel 1983 che Limite superiore per la funzione σ, per n > 2, e che σ(n) / (n * log(log(n))) raggiunge il massimo valore per n = 12.

 

Nel 1915 Ramanujan dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, σ(n) < eγnloglogn per n sufficientemente grande. La formula è nota come disuguaglianza di Robin, perché Guy Robin dimostrò nel 1984 che, sempre supponendo vera l’ipotesi di Riemann, vale per n > 5040, mentre è violata infinite volte se l’ipotesi è falsa.

La disuguaglianza non vale per n uguale a: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040.

 

La tabella seguente riporta i numeri noti per i quali σ(n) > eγnloglogn.

n

σ(n)

eγnloglogn

3

4

0.5025179752

4

7

2.3270370848

5

6

4.2379281966

6

12

6.2323080954

8

15

10.4313759338

9

13

12.6184618498

10

18

14.8547218394

12

28

19.4543354242

16

31

29.0608735379

18

39

34.0272680320

20

42

39.0834506310

24

60

49.4255720421

30

72

65.4077939654

36

91

81.8374802692

48

124

115.7182524972

60

168

150.6366910902

72

195

186.3509548229

84

224

222.7071678839

120

360

334.7005457586

180

546

528.1139507144

240

744

727.1997652433

360

1170

1136.5627891824

720

2418

2415.8877308745

840

2880

2853.1847175211

2520

9360

9237.9126823111

5040

19344

19237.0615316637

 

Jeffrey Lagarias dimostrò nel 2002 che l’ipotesi di Riemann è equivalente alla disuguaglianza σ(n) ≤ Hn + eHnlog(Hn) per n > 0 e l’uguaglianza vale solo per n = 1.

E’ stato dimostrato che la disuguaglianza vale per interi abbastanza grandi dispari e non multipli di un quadrato e che le eventuali eccezioni devono essere numeri colossalmente abbondanti.

Nel 2014 Sadegh Nazardonyavi e Semyon Yakubovich dimostrarono che le eventuali eccezioni devono essere numeri estremamente abbondanti.

Nel 2007 YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree e Patrick Solé dimostrarono che l’ipotesi di Riemann equivale alla validità della disuguaglianza per multipli della quinta potenza di un primo.

 

Definendo una funzione G(n) come Formula per la definizione della funzione G(n), Geoffrey Caveney, Jean Louis Nicolas e Jonathan Sondow analizzarono nel 2012 l’insieme GA1 dei numeri composti tali che G(n) ≥ G(n / p) per ogni fattore primo p di n e l’insieme GA2 degli interi n tali che G(n) ≥ G(kn) per ogni intero positivo k. I tre dimostrarono che l’ipotesi di Riemann equivale a ciascuna delle seguenti affermazioni:

  • 4 è l’unico numero appartenente a entrambi gli insiemi;

  • se n > 5040, G(n) ≥ G(kn) per ogni intero positivo k, cioè il massimo elemento di GA2 è 5040.

I numeri appartenenti a GA1 sono i numeri della forma 2p con p primo (Incluso 4) e infiniti altri con più di 2 fattori primi; i minimi sono: 183783600, 367567200, 1396755360, 1745944200, 2327925600, 3491888400, 6983776800, 80313433200, 160626866400, 252706217563800, 288807105787200, 336941623418400, 404329948102080, 505412435127600, 673883246836800, 1010824870255200, 2021649740510400, 112201560598327200 (Geoffrey Caveney, Jean-Louis Nicolas e Jonathan Sondow, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Tra questi si trovano infiniti numeri superabbondanti, il minimo dei quali è 183783600, infiniti non superabbondanti e infiniti numeri colossalmente abbondanti, il minimo dei quali è 367567200. Se invece n è colossalmente abbondante, ma ε < 1 / (log(n) * log(log(n))), allora non appartiene a GA1. In particolare i numeri colossalmente abbondanti tali che il massimo primo che li divide sia 2, 3, 5, 7, 11, 13, 29, 59 o 149 non appartengono a GA1.

Nessun numero appartenente a GA1 può essere il prodotto di tre primi differenti, né una potenza di un primo, tranne 4; se n appartiene a GA1 e ha almeno tre fattori primi, il massimo di essi è inferiore a logn e n non è multiplo del suo quadrato, vale a dire che n = p2q, con p < q e p e q primi.

I numeri appartenenti a GA1 con un numero k > 2 fissato di fattori primi sono in numero finito.

Tra i numeri appartenenti a GA1 vi sono anche infiniti numeri dispari, ma sono piuttosto rari: il minimo è 1058462574572984015114271643676625.

I numeri appartenenti a GA1 minori di n sono meno di n^(c / log(log(n)), per una costante positiva c.

I numeri appartenenti a GA2 noti sono: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 18, 24, 36, 48, 60, 72, 120, 180, 240, 360, 2520, 5040 e nessun altro minore di e19747 ≈ 108576. Se ne esistono altri sono pari, sono infiniti e l’ipotesi di Riemann è falsa, quindi gli unici dispari sono 3 e 5.

 

Harold Davenport dimostrò nel 1933 che, indicando con A(x) il limite cui tende la frazione degli interi tali che σ(b) / n ≤ x, la funzione A(x) è continua e strettamente crescente, vale 0 per x = 0 e tende a 1 per x tendente a infinito (v. numeri abbondanti).

 

Se σ(n) / n < σ(m) / m per tutti gli interi m < n, n è primo (Leonidas Alaoglu e Paul Erdös 1944).

 

Eulero dimostrò che Formula per la funzione σ, dove bisogna continuare a sommare termini sino a quando gli argomenti di σ diventano negativi e se nella somma compare σ(0) bisogna prendere come valore n.

La formula è praticamente identica, sostituendo σ con p, a quella per il numero di partizioni e come quella utilizza i numeri pentagonali generalizzati.

 

L’unico primo p per il quale σ(p3) sia un quadrato è 7: σ(73) = 400 = 202.

 

L’unico primo p per il quale σ(p4) sia un quadrato è 3: σ(34) = 121 = 112.

 

σ(mn – 1) è un multiplo di n per qualsiasi valore di m solo se n è 3, 4, 6, 12 o 24. Una proprietà analoga vale per la funzione τ (K.G. Ramanathan, 1943).

 

L’unico intero n per il quale Somma che coinvolge la funzione σ è 12.

 

Se p è primo, Somma che coinvolge la funzione σ, per r da 0 a 3.

Se p è primo dispari, Somma che coinvolge la funzione σ.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Melfi, Giuseppe;  On some Modular Identities, Articolo disponibile in rete, 1998.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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