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Non cotozienti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si dicono “non cotozienti” gli interi positivi che non sono valori di n – φ(n), per nessun intero n.

 

I numeri non cotozienti minori di 1000 sono: 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520, 532, 534, 536, 546, 554, 562, 566, 580, 584, 596, 626, 634, 650, 652, 666, 680, 686, 688, 698, 706, 722, 724, 730, 732, 746, 772, 778, 786, 794, 808, 818, 834, 842, 850, 872, 874, 902, 906, 914, 922, 926, 932, 940, 962, 964, 974, 980, 986.

Qui trovate i numeri non cotozienti fino a 10000 (T. D. Noe e Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Se p è primo, pk – φ(pk) = pk – 1, quindi nessuna potenza di un primo può essere non cotoziente.

Inoltre se è vera la congettura di Goldbach nella forma forte (cioè ogni numero pari maggiore di 6 è la somma di due primi distinti), tutti i numeri non cotozienti sono pari. Infatti, se k è dispari e k – 1 può essere rappresentato come somma di due primi p e q, allora pq – φ(pq) = k.

 

J. Browkin e A. Schinzel dimostrarono nel 1995 che i numeri non cotozienti sono infiniti, confermando una congettura avanzata da Paul Erdös e Sierpiński. I due matematici mostrarono in particolare che tutti i numeri della forma 2n • 509203 sono non cotozienti.

 

Nel 2000 A. Flammenkamp e Florian Luca dimostrarono che se k è primo, non è un primo di Mersenne, 2mk – 1 è composto per ogni valore positivo di m (ossia se k è un numero di Riesel) e 2k è non cotoziente, allora tutti gli interi della forma 2n • k sono non cotozienti. In particolare i seguenti valori di k soddisfano tutti i requisiti: 2554843, 9203917, 9545351, 10645867, 11942443 e 65484763.

Dato che e stato dimostrato che esistono progressioni aritmetiche infinite di interi di Riesel, e quindi infiniti primi non di Mersenne che sono numeri di Riesel, le prime tre condizioni sono soddisfatte da infiniti interi ed è estremamente probabile che tra questi ve ne siano infiniti che soddisfino la quarta condizione, quindi che esistano infiniti valori di k del genere, anche se non è stato dimostrato.

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