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Primi sexy

Teoria dei numeri 

Qualche matematico spiritoso definì “primi sexy” (dalla parola latina “sex”, cioè sei) due numeri primi che differiscono di 6, come 23 e 29.

In qualche caso si aggiunge alla definizione la clausola che i due primi siano consecutivi, escludendo quindi coppie come quella formata da 13 e 19, perché vi è il primo 17 tra essi.

 

Le coppie di primi sexy minori di 1000 sono:

5, 11;

7, 13;

11, 17;

13, 19;

17, 23;

23, 29;

31, 37;

37, 43;

41, 47;

47, 53;

53, 59;

61, 67;

67, 73;

73, 79;

83, 89;

97, 103;

101, 107;

103, 109;

107, 113;

131, 137;

151, 157;

157, 163;

167, 173;

173, 179;

191, 197;

193, 199;

223, 229;

227, 233;

233, 239;

251, 257;

257, 263;

263, 269;

271, 277;

277, 283;

307, 313;

311, 317;

331, 337;

347, 353;

353, 359;

367, 373;

373, 379;

383, 389;

433, 439;

443, 449;

457, 463;

461, 467;

503, 509;

541, 547;

557, 563;

563, 569;

571, 577;

587, 593;

593, 599;

601, 607;

607, 613;

613, 619;

641, 647;

647, 653;

653, 659;

677, 683;

727, 733;

733, 739;

751, 757;

821, 827;

823, 829;

823, 829;

853, 859;

857, 863;

877, 883;

881, 887;

941, 947;

947, 953;

971, 977;

977, 983;

991, 997.

Qui trovate le coppie di primi sexy minori di 107 (2 Mbyte).

 

Come nel caso dei primi gemelli, si ritiene che i primi sexy siano infiniti, ma non è stato dimostrato. Ammettendo una forma forte della congettura di Elliott – Halberstam è stato dimostrato che almeno uno degli insiemi tra primi gemelli, primi cugini e primi sexy è infinito (v. congettura dei primi gemelli).

 

Secondo una congettura di Hardy e Littlewood il numero di primi sexy minori di n tende al doppio del numero dei primi gemelli minori di n, ossia a 4 * C2 * n / log(n)^2, dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

La congettura di Dickson implica l’esistenza di sequenze arbitrariamente lunghe di coppie di primi sexy consecutivi.

 

Le sequenze di esattamente 4 primi sexy minori di 1000 sono:

23, 29, 31, 37;

53, 59, 61, 67;

73, 79, 83, 89;

157, 163, 167, 173;

433, 439, 443, 449;

977, 983, 991, 997.

 

Le sequenze di esattamente 6 primi sexy minori di 10000 sono:

251, 257, 263, 269, 271, 277;

563, 569, 571, 577, 587, 593;

1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783;

2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417;

3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329;

3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637;

5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153;

5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413;

5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867;

6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073;

8713, 8719, 8731, 8737, 8741, 8747;

9343, 9349, 9371, 9377, 9391, 9397;

 

L’unica sequenza di esattamente 7 primi sexy minori di 10000 è 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389.

L’unica sequenza di esattamente 8 primi sexy minori di 10000 è 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377.

L’unica sequenza di esattamente 12 primi sexy minori di 10000 è 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379.

L’unica sequenza di esattamente 14 primi sexy minori di 10000 è 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617.

 

Le massime coppie note di primi sexy iniziano con:

  • (520461 • 255931 + 1) • (98569639289 • (520461 • 255931 – 1)2 – 3) – 1, 50539 cifre (Peter Kaiser, 2019).

  • Primo numero di una coppia di primi sexy, 11593 cifre, (Ken Davis, 2009);

  • Primo numero di una coppia di primi sexy, 10154 cifre (M. Fleuren, T. Alm, e Jens Kruse Andersen, 2005);

 

Le massime triple note di primi sexy inizano con:

  • 2683143625525 • 235176 + 1, 10602 cifre(Norman Luhn e Gerd Lamprecht, 2019);

  • 22582235875 • 222224 + 1, 6701 cifre (Norman Luhn e Gerd Lamprecht, 2019);

  • Primo numero di una tripla di primi sexy, 6180 cifre (Ken Davis, 2019);

 

Le massime quadruple note di primi sexy inizano con:

  • Primo numero di una quadrupla di primi sexy, 3025 cifre (Gerd Lamprecht e Norman Luhn, 2019);

  • Primo numero di una quadrupla di primi sexy, 2053 cifre (Ken Davis, 2019).

 

In una progressione aritmetica di interi dispari con differenza 6 tra termini successivi, uno è multiplo di 5, quindi l’unica quintupla di primi sexy è 5, 11, 17, 23, 29.

 

Come per i numeri primi, i primi gemelli e i primi cugini, sono stati cercati polinomi e funzioni capaci di produrre coppie di primi sexy; un caso particolare è quello dei polinomi che producono coppie di numeri primi sexy per valori consecutivi della variabile, a partire da 0. Alcuni dei migliori risultati noti sono riassuti nella tabella seguente; per ciascuno è riportato il numero di coppie di primi sexy generati (tra parentesi il numero di coppie differenti, se inferiore).

Funzione

Primi generati

Scopritore

|45n2 – 735n + 2900 ± 3|

18

Vittorio Ornago, 2020

|820n2 – 9380n + 24974 ± 3|

16

Vittorio Ornago, 2020

61n2 – 707n + 2396 ± 3|

15

Vittorio Ornago, 2020

n2 – 313n + 356 ± 3

14

Vittorio Ornago, 2020

10n2 – 240n + 1456 ± 3

25 (13)

Vittorio Ornago, 2020

n2 – 19n + 104 ± 3

20 (10

Vittorio Ornago, 2020

 

Il seguente quadrato magico di primi sexy ha la notevole proprietà che i numeri contenuti restano primi sommando a ciascuno 6 e poi ancora 6; i primi contenuti sono quindi, in un certo senso, doppiamente sexy.

151

1987

1361

1747

1481

271

1601

31

1867

 

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