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Hardy e Littlewood (costanti di)

Teoria dei numeri 

Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) avanzarono nel 1923 una congettura sui numeri primi, che afferma che se non esistono semplici condizioni di divisibilità che impediscano ai numeri p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk di essere tutti primi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky), la frazione dei valori di p non superiori a n tali che p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk, siano primi tende a Frazione asintotica dei valori di p non superiori a n che rendono primi tutti i numeri, dove Valore di C(m(1), m(2), ... m(n)), dove il prodotto va calcolato sui primi dispari e w(q; m1, m2, ... mk) è il numero di differenti residui di 0, m1, m2, ... mk modulo q.

 

I valori di C(m1, m2, … mn) per alcuni casi particolari di m1, m2, … mn sono talvolta chiamati “costanti di Hardy e Littlewood”.

 

In particolare secondo la congettura:

  • il numero di coppie di primi p, p + 2, ovvero di primi gemelli, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi gemelli minori di n;

  • il numero di coppie di primi p, p + 4, ovvero di primi cugini, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi cugini minori di n;

  • il numero di coppie di primi p, p + 6, ovvero di primi sexy, minori di n tende a Limite asintotico per il numero di primi sexy minori di n;

  • il numero di triple di primi p, p + 2, p + 6 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di triple di primi p, p + 2, p + 6 minori di n;

  • il numero di triple di primi p, p + 4, p + 6 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di triple di primi p, p + 4, p + 6 minori di n;

  • il numero di quadruple di primi p, p + 2, p + 6, p + 8 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di quadruple di primi p, p + 2, p + 6, p + 8 minori di n;

  • il numero di quadruple di primi p, p + 4, p + 6, p + 10 minori di n tende a Limite asintotico per il numero di quadruple di primi p, p + 4, p + 6, p + 10 minori di n.

 

Le corrispondenti costanti di Hardy e Littlewood sono quindi:

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di C(1, 3) = C(2, 3) (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999).

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di C(1, 3, 4) (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999).

 

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue trovate ottime approssimazioni di alcune costanti e alcuni prodotti infiniti mostrati sopra.

 

Per quanto riguarda gli integrali, asintoticamente Integrale da 2 a n di dt / log(t)^k tende a n / log(n)^k; il valore esatto può essere calcolato con le seguenti formule:

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^2,

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^3,

  • Integrale da 2 a n di dt / log(t)^9.

 

Le tabelle seguenti mostrano l’accordo tra le previsioni della congettura e il numero di primi esistenti non superiori a n per alcuni gruppi di primi.

Primi gemelli

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

1224

1249

n = 106

8169

8248

n = 107

58980

58754

n = 108

440312

440368

 

Primi cugini

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

1216

1249

n = 106

8144

8248

n = 107

58622

58754

n = 108

440258

440368

 

Primi sexy

Numero di coppie

Coppie previste

n = 105

2447

2497

n = 106

16386

16496

n = 107

117207

117508

n = 108

879908

880736

 

Triple p, p + 2, p + 6

Numero di triple

triple previste

n = 105

259

279

n = 106

1393

1446

n = 107

8543

8591

n = 108

55600

55491

 

Triple p, p + 4, p + 6

Numero di triple

triple previste

n = 105

248

279

n = 106

1444

1446

n = 107

8677

8591

n = 108

55556

55491

 

Quadruple p, p + 2, p + 6, p + 8

Numero di quadruple

Quadruple previste

n = 105

38

53

n = 106

166

184

n = 107

899

863

n = 108

4768

4735

 

Quadruple p, p + 4, p + 6, p + 10

Numero di quadruple

Quadruple previste

n = 105

80

106

n = 106

317

367

n = 107

1653

1726

n = 108

9267

9469

 

Nel 2013 Alexei Kourbatov avanzò la congettura che la massima differenza tra due n-uple di primi come quelle sopra descritte minori di x tenda a log(x)^(n + 1() / C(n), dove Cn è la costante di Hardy e Littlewood relativa alla n-upla. La congettura è in buon accordo con i dati disponibili.

Kourbatov propose anche alcune congetture che generalizzano la congettura di Legendre (II), nella forma:

  • per m > rn vi è sempre una n-upla di primi tra m2 e (m + 1)2, dove rn dipende dalla n-upla;

  • per m > sn vi è sempre una n-upla di primi tra mn + 1 e (m + 1)n + 1, dove sn dipende dalla n-upla.

 

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