Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Zero ha due usi principali: come cifra, in una notazione posizionale, per indicare l’assenza di termini di quell’ordine (per esempio, nel numero 502 lo zero rappresenta l’assenza di decine, da sommare a 5 centinaia e 2 unità) e come numero.

 

Come cifra è indispensabile se e solo se si utilizza una notazione posizionale: i Greci e i Romani, infatti, non ne sentivano il bisogno. Scrivendo con una notazione che utilizza le stesse cifre per unità, decine centinaia ecc., come quelle babilonese e quella indiana, diviene necessario indicare l’assenza di una cifra in una posizione nella rappresentazione dei numeri, ma non nei calcoli. Questi infatti erano principalmente svolti tramite una delle varie versioni dell’abaco, nel quale la cifra zero è semplicemente indicata dalla mancanza di sassolini in una colonna o dall’essere tutte le palline scorrevoli da una stessa parte.

Lo zero come cifra si diffuse quando dall’abaco si passò ai calcoli scritti, verso la fine del Medio Evo, svolgendo le operazioni all’incirca come siamo soliti fare oggi. Un puntino poteva andare bene in molti casi, ma una cifra era più chiara e difficile da contraffare.

Questo passo fu a sua volta conseguenza della disponibilità di un supporto relativamente economico, come la carta, in grandi quantità.

 

L’uso dello zero come cifra precedette quello come numero in quasi tutte le culture. Molti popoli antichi, infatti, mostravano una certa repulsione per lo zero: non che non conoscessero il concetto di zero, antico come i numeri naturali, ma da un punto di vista matematico non lo consideravano un numero come gli altri o addirittura non un numero. Verso di esso provavano la stessa diffidenza che ebbero in seguito verso i numeri negativi e, più recentemente, verso i numeri complessi. Un notevole esempio furono i Greci, presso i quali spesso neppure 1 era considerato un numero naturale; sullo zero si chiedevano “come può ‘nulla’ essere qualcosa?” ed evitavano di usarlo e di porre problemi la cui risposta fosse zero.

 

Una notevole eccezione è rappresentata dai Maya, che introdussero il numero zero prima della cifra; già nel XII secolo a.C. in molti casi addirittura contavano a partire da zero. Il loro calendario, per esempio, comprendeva 18 mesi da 20 giorni, numerati da 0 a 19: una scelta ragionevole, utilizzando una notazione in base 20. Probabilmente nella seconda metà del primo millennio a.C. introdussero anche una notazione per lo zero, forse derivata da quella introdotta dagli Olmechi nello stesso periodo, ma la prima apparizione di un simbolo per zero datato con sicurezza è su un monumento del 357 d.C..

 

Un’altra eccezione è rappresentata dalla Cina: i matematici cinesi avevano familiarità con il numero zero e con i numeri negativi fin dalla dinastia Han (II secolo), ma si limitavano a indicarlo come una posizione vuota; la loro notazione, infatti, ricalcava fedelmente lo strumento di calcolo, l’abaco, quindi era naturale rappresentare una colonna vuota dell’abaco con una posizione vuota sulla carta. Il più antico simbolo per lo zero pervenutoci, un cerchietto, compare nel 1247 nel Trattato matematico in nove sezioni di Ch’in Chu-shao.

 

Le notazioni preistoriche prevedevano solamente un simbolo per l’unità, da ripetersi tante volte quante necessario (v. rappresentazione dei numeri), ma evidentemente non erano adatte a rappresentare numeri anche relativamente modesti.

Il primo passo avanti fu l’introduzione di simboli per le potenze di 10, da ripetersi sempre tante volte quante erano le unità, decine ecc.. In seguito furono introdotti simboli per 5, 50, 500 (come presso i Romani) per rendere più compatta la scrittura e alla fine simboli per ogni numero da 1 alla base meno 1, creando una notazione posizionale, ma sempre senza lo zero.

Il passaggio a notazioni posizionali moderne fu lento e di conseguenza lo zero come cifra apparve relativamente tardi.

 

Già nel 1750 a.C. i Babilonesi avevano introdotto una notazione posizionale, simile alla nostra, anche se in base 60, e finalmente nel VI secolo a.C. introdussero un simbolo per lo zero, per distinguere, per esempio, 12 da 102, ma curiosamente per un po’ tale simbolo fu utilizzato solo all’interno dei numeri, mai all’inizio o alla fine. La loro notazione era sostanzialmente “a virgola mobile”, esattamente come la rappresentazione odierna dei numeri all’interno dei calcolatori, ma mancando di un’indicazione precisa sulla posizione del punto decimale, era per loro impossibile distinguere tra 17, 170, 1700 o 0.0017: il contesto doveva fornire l’informazione mancante. Solo intorno al 500 a.C. introdussero un segno per lo zero, che divenne di uso regolare intorno al 300 a.C.. Il loro esempio fu però ignorato per lungo tempo.

 

In alcune tavole astronomiche greche si trova la cifra zero, probabilmente importata dai resti degli imperi babilonesi e persiani, quando Alessandro il Grande li conquistò nel 331 a.C., ma l’uso sembra limitato all’astronomia.

 

Nel 130 Claudio Tolomeo (Pelusio, Egitto 100 circa – Alessandria d'Egitto, 175 circa) introdusse un simbolo per il numero zero, un cerchietto sormontato da una linea orizzontale lunga, mentre usava le lettere dell’alfabeto greco per le cifre (in notazione sessagesimale). Nelle copie bizantine dell’Almagesto, la sua opera più famosa, il simbolo finì col diventare una ο (omicron greca, in pratica un cerchietto), creando confusione col suo significato numerico (omicron vale 70 nella notazione greca).

 

Nel 270 un certo Sphujidvhaja scrisse Yavanajatāka (Oroscopi dei Greci), traduzione in versi di una copia in sanscrito datata intorno al 150 di un probabile testo greco, forse proveniente da Alessandria. In esso si trova 60 menzionato come “6 con 0”, forse la prima traccia indoeuropea della cifra.

 

Nel II secolo i matematici indiani usavano una notazione posizionale in base 10, simile alla nostra, con uno spazio vuoto per lo zero e il manoscritto di Bakhshali (ritrovato nel 1881 nel villaggio di Bakhshali, nell’odierno Pakistan), scritto su corteccia di betulla e datato da differenti esperti tra il II secolo a.C. e il III d.C. secolo, tratta i numeri negativi (per i quali curiosamente utilizza il simbolo +) e lo zero (per il quale utilizza come simbolo un punto). Se fosse, come molti suppongono, una copia di un testo risalente a prima del II secolo a.C., si tratterebbe della prima traccia di questi due concetti.

 

Nel 525 Dionysius Exiguus (470 circa – Roma, 544 circa) si azzardò a utilizzare lo zero come numero, utilizzando una parola latina, nulla, e non un simbolo. Nel Medio Evo l’uso si protrasse, talvolta con nihil, talvolta con l’iniziale N (maiuscola).

 

Nel VI secolo il matematico e astronomo indiano Āryabhaţa (Kusumapara, India, 476 – 550) sviluppò una particolarissima notazione decimale posizionale: utilizzava 9 consonanti per le cifre nei posti dispari (p. es. unità e centinaia) e altrettante per le cifre nei posti pari (p. es. decine e migliaia), ciascuna seguita da una vocale che indicava la posizione della cifra, eliminando la necessità dello zero per indicare cifre mancanti e ottenendo numeri pronunciabili senza difficoltà. La parola che utilizzava per “posto” era “kha”, che divenne uno dei termini indiani più comuni per zero.

 

Nel 628 il matematico indiano Brahmagupta (598 – 670 circa) in Brāhmasphuţasiddhānta (La Dottrina di Brama correttamente stabilita) trattò lo zero come un numero a tutti gli effetti, discutendone l’uso nelle operazioni, inclusa la divisione, considerando la possibilità di frazioni con zero a denominatore (che considerava valide) e attribuendo il valore zero al risultato della divisione di zero per zero.

 

Lo zero come simbolo fu introdotto intorno al 680 in Cambogia e Sumatra, come semplice segnaposto, per una cifra “mancante”.

 

In Europa lo zero comparve molto più tardi, forse a causa dell’influsso culturale greco.

Nel 662 Severus Sebokht (Nisibis, Siria, 585 – 667), vescovo nestoriano di Kenneshre (nell’odierna Siria), parlò con ammirazione dei nove segni che i matematici indiani utilizzavano per rappresentare i numeri, ma non ebbe il coraggio di includere lo zero e il suo lavoro fu completamente ignorato in un’Europa che attraversava uno dei momenti peggiori della sua storia.

La cultura araba si trovava invece allora in un periodo di splendida fioritura e accettò rapidamente la novità, introdotta, pare, da un indiano alla corte del califfo Al Mansur nel 773. Circa un secolo dopo troviamo Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (Baghdad 780 – 850), che scrisse intorno all’825 un trattato sulla notazione indiana, considerato comunemente il primo testo sull’argomento scritto a occidente dell’India; in esso raccomanda di scrivere un cerchietto quando un calcolo obbligherebbe a scrivere uno zero, per mantenere il corretto incolonnamento.

 

Nel 876 comparve a Gwalior, vicino a Lashkar, circa 250 km a Sud di Delhi, la prima testimonianza scritta (un’iscrizione su pietra) sicuramente autentica di una cifra simile al nostro zero, o meglio simile al simbolo che usiamo per i gradi: un cerchietto piccolo e in alto rispetto alla riga di scrittura. Vi sono, a dire il vero, molte altre iscrizioni analoghe su rame risalenti al VI secolo, ma sono anche molto abbondanti i falsi, risalenti in gran parte al XI secolo, quindi sembra difficile trovare un esempio precedente sulla cui autenticità siano tutti d’accordo. Significativo il fatto che in sanscrito lo stesso simbolo denoti una parola o sillaba omessa; più che essere una cifra, quindi, questa primitiva forma di zero indica l’assenza di una cifra in una certa posizione.

 

Il primo testo europeo che tratti la numerazione decimale fu il Codex vigilanus, scritto (o forse solo copiato) in Spagna nel 976. Anche questo libro arrivò in un momento poco felice per l’Europa e fu praticamente ignorato.

 

Nello stesso periodo vi fu lo sviluppo da parte degli Arabi di una notazione decimale con 9 cifre, che eliminava la necessità dello zero aggiungendo puntini sopra ogni cifra per indicarne il posto: nessun puntino per le unità, uno per le decine, due per le centinaia e così via. Questa notazione si prestava troppo facilmente a errori (e frodi): scrivendo manualmente, un puntino può facilmente sparire o essere confuso con quelli sulle cifre adiacenti. L’idea non era nuova: in India era stata usata una notazione analoga, con i punti sotto le cifre, invece che sopra; gli Arabi però preferirono cambiare posto ai puntini delle cifre, probabilmente perché utilizzavano i punti sotto le lettere per indicare le vocali.

 

Nel 1175 Ibn Yahya al Magribi Al-Sanawal (Baghdad, 1130 circa – Maragha, Iran, 1180 circa) pubblicò l’idea che x0 = 1, ossia che qualsiasi numero (tranne zero) elevato alla potenza con esponente zero dia uno.

 

All’inizio del dodicesimo secolo Robert di Chester tradusse in Spagna il testo di al-Khwarizmi in latino e altrettanto fecero Adelardo di Bath (Bath, Inghilterra, 1080 – Bath, 1152) e John di Siviglia (Siviglia, Spagna – Toledo, Spagna, 1180), utilizzando per lo zero sia un cerchietto con un trattino sopra, sia la lettera greca Θ, (theta maiuscola), ossia un cerchio con un trattino all’interno.

 

Il primo testo occidentale sull’argomento, nonché il più importante e diffuso, resta tuttavia il famoso Liber Abaci di Leonardo Pisano Bigollo (Pisa, 1175 – Pisa, 1240), più noto come Fibonacci, che aveva ben compreso i vantaggi della notazione indiana e la propagandava attivamente. Tra l’altro, essendo figlio di un mercante, diede una trattazione estremamente “pratica” dell’argomento, mostrando come eseguire le operazioni, calcolare rapporti, cambi di valute, miscele ecc., favorendo la diffusione della notazione al di fuori dell’ambito dei matematici.

L’abaco stesso, come strumento di calcolo, rendeva naturale l’uso di una notazione posizionale, evidente il concetto di “colonna” vuota e spontanea la ricerca di un simbolo per designarla.

Il libro, pubblicato nel 1202, nel quale l’Autore condensa il sapere numerico del tempo, dal conteggio sulle dita alla soluzione delle equazioni di secondo grado, inizia così: “Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur” (Le nove cifre indiane sono: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Con queste nove cifre e col segno 0, che è chiamato cefiro secondo gli arabi si può scrivere ogni numero, come dimostrato più avanti)”.

Queste parole segnano l’introduzione dello zero nella cultura occidentale. Non ancora numero, neppure cifra, ma semplice segno per indicare l’assenza di qualcosa, tuttavia lo zero comincia a farsi strada. Ci vorranno ancora secoli, prima che gli sia riconosciuta la dignità di numero.

 

Un atteggiamento analogo lo troviamo in Johannes de Sacrobosco, insegnante all’università di Parigi, che intorno al 1240 scrisse un testo per spiegare la notazione indiana e il suo uso nelle operazioni aritmetiche, che fu largamente usato nell’Europa occidentale: “Sciendum quod iuxta 9 limites 9 inveniuntur figure significative 9 digitos representantes qui tales sunt 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 decima dicitur theca vel circuli vel cifra vel figura nihil quoniam nihil significat” (bisogna sapere che si trovano 9 simboli corrispondenti alle 9 unità rappresentanti le 9 cifre che sono fatte così 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 La decima si chiama teca [scrigno, ma anche simbolo a forma di cerchio vuoto nel latino medioevale] o cerchio o cifra o figura nulla, perché rappresenta il nulla).

Bisogna considerare che nel Medio Evo lo zero come numero era considerato un’invenzione del Diavolo, quindi introdurlo come cifra richiedeva una certa cautela.

 

Nonostante i contatti più stretti con l’India, la cifra zero comparve nei libri in Cina solo nel XIII secolo, forse perché la notazione posizionale cinese permetteva di farne a meno (v. rappresentazione dei numeri).

 

Come simbolo per lo zero, come cifra mancante in una notazione posizionale, i Babilonesi usavano due segni cuneiformi leggermente inclinati, gli Indiani un punto, poi un cerchietto e una crocetta.

Sono state proposte numerose origini per il simbolo odierno, alcune fantasiose, come la volontà di riprodurre il segno lasciato su un abaco di sabbia quando si toglie una pietra. Più concretamente, la lettera ‘o’ potrebbe essere l’iniziale di οὐδέν, che significa “nulla”; a sostegno di questa ipotesi sta il fatto che nel tardo greco “nulla” divenne μηδέν, e un simbolo simile a una μ si trova nei testi greco-bizantini del quindicesimo secolo.

La somiglianza col moderno zero è probabilmente casuale.

 

Per quanto riguarda il nome, gli indiani lo chiamavano “sunya”, che significa bianco, vuoto, e gli Arabi usarono il termine “sifr” (dal quale deriva il nostro “cifra”) che ha circa lo stesso significato. Fibonacci utilizzò il nome arabo per questo simbolo, ma latinizzato, tanto da sembrare un venticello: “quod arabice zephirum appellatur” (“che è chiamato zefiro in arabo”).

Zero deriva dunque da zephirum, trascrizione latina dall’arabo, come la parola cifra. Passando al dialetto veneziano ci fu un leggero cambiamento di suono e di grafia, e lo zero, già misero, perse una sillaba.

 

Per “calcolarne” il valore, si possono sommare i reciproci dei numeri interi che non sono multipli di quadrati, col segno positivo se hanno un numero pari di fattori primi, negativo altrimenti (v. funzione μ); in altri termini, Serie infinita convergente a zero.

Segnalo alcune alter serie convergenti a zero:

Serie infinita convergente a zero (Ramanujan).

Serie infinita convergente a zero, per k intero, anche negativo, ma non nullo.

Serie infinita convergente a zero, serie che ha una convergenza particolarmente veloce (Boris Gourévitch).

 

Sono anche state trovate serie utili per calcolare velocemente singole cifre binarie di zero, simili a quelle utilizzate da David H. Bailey, Peter B. Borwein e Simon Plouffe per calcolare cifre singole di π (v.):

Serie infinita convergente a zero (David H. Bailey, Peter B. Borwein e Simon Plouffe, 1997);

Serie infinita convergente a zero (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2001).

 

Per chi desiderasse utilizzare queste serie per calcolare il valore di questa importantissima costante, posso anticipare il valore di tutte le cifre binarie o decimali: sempre rigorosamente zero.

 

Alla voce frazioni continue trovate alcune rappresentazioni di zero.

 

Tra le curiosità segnalo le ricerche sulle potenze prive di zeri, ossia tali che in notazione decimale non contengano zeri:

  • esistono infiniti quadrati privi di zeri: un numero scritto come (3)n4 (cioè n 3 seguiti da un 4) ha un quadrato scritto come (1)n + 1(5)n6; per esempio, 333342 = 1111155556;

  • esistono infiniti cubi privi di zeri, in particolare i numeri della forma (6)n(3)n9(0)n – 1(3)n(6)n e quelli della forma (6)n(3)n – 14(0)n(3)n(6)n – 17 (v. numeri di Baxter – Hickerson);

  • si ignora se esistano infiniti casi di quarte, quinte potenze ecc. prive di zeri.

Molto probabilmente le potenze prive di zeri di ogni intero maggiore di 1 sono in numero finito e potrebbe anche esistere un esponente massimo, al di sopra del quale nessuna potenza è priva di zeri (v. anche due).

 

Sono note varie grandi potenze di primi prive di zeri:

1944 = 184144368549628275143663229532787625188711914273876985521 (Bo Gyu Jeong, 2010);

34939 = 1479761253386816635938918573914419155994142151898153246796492828575365682425969779363159565487616149 (Shyam Sunder Gupta, 2013);

616152721 = 38322644828388116115892544228627265735817758672891927671419743191881529313713118214228251348587846799583459615559231988282189668125135144387927 (Carlos Rivera, 2011);

9236499122 = 17424592471783711323699156913456694546273914324338582593731167781777493897993117438896788232945265932159785469727734934263114193413772936938267437462682939719579338915121962881 (Maximilian Hasler, 2011).

Il record spetta al quadrato del numero primo Numero primo, il cui quadrato è privo di zeri, con 1000 cifre (Maximilian Hasler, 2011).

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Kaplan, Samuel R.;  The Nothing that is, Oxford University Press, 2000.
  • Menninger, Karl;  Number Words and Number Symbols, New York, Dover Publications Inc., 1992 -

    Ripubblicazione del testo pubblicato da MIT Press, Cambridge, 1969, trad. di Zahlwort und Ziffer: Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen, Vandenoeck & Ruprecht Publishing Company, 1957-58. Un testo erudito sui termini e simboli usati per rappresentare i numeri.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

  • Seife, Charles;  Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, 2000.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.