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Narayana – Zidek – Capell (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze 

I numeri di Narayana – Zidek – Capell sono i numeri che formano la sequenza che inizia con a0 = a1 = a2 = 1 ed è definita ricorsivamente come a2n = 2a2n – 1, a2n + 1 = 2a2nan. In altre parole, gli elementi di indice pari sono il doppio del precedente, quelli di indice dispari sono il doppio del precedente, meno l’elemento di indice uguale alla metà del precedente.

La sequenza inizia quindi con 1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 22, 42, 84, ….

 

La sequenza fu studiata da T.V. Narayana, J. Zidek e P. Capell negli anni ’60 del secolo scorso e prende il nome di questi matematici, ma fu scoperta da M.A. Stern già nel 1860.

 

Ogni termine an è anche uguale alla somma di Numero di termini da sommare per ottenere il successivo termini immediatamente precedenti.

 

Il numero di Narayana – Zidek – Capell an + 1 è il numero di composizioni di n tali che il termine m-esimo della composizione non sia minore di m e che ogni termine k sia seguito da k – 1 zeri, in modo che il numero di termini sia sempre n.

Per esempio, le 6 composizioni del genere di 5 sono:

  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

  • 1 + 2 + 0 + 1 + 1,

  • 1 + 1 + 2 + 0 + 1,

  • 1 + 1 + 1 + 2 + 0,

  • 1 + 2 + 0 + 2 + 0,

  • 1 + 1 + 3 + 0 + 0.

Tali composizioni possono anche essere descritte, eliminando gli zeri, come le composizioni di n tali che ogni termine non superi la somma dei precedenti.

 

Il numero di alberi con n nodi, nei quali ogni nodo intermedio ha almeno 2 figli e ogni foglia è o il figlio più a sinistra di un nodo o quello più a destra è an – 1 (v. numeri di alberi).

 

Limite del rapporto tra il termine n-esimo e 2^(n - 3), che è il doppio della costante di Atkinson, Negro e Santoro (v. costante di Erdös degli insiemi a somme distinte).

 

Non si conosce alcun quadrato maggiore di 1 nella sequenza.

 

Gli unici primi nella sequenza sono a4 = 2, a5 = 3 e a7 = 11, perché per n > 1 a2n è pari, a4n + 1 è multiplo di 3 e a4n + 3 è multiplo di 5.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Narayana – Zidek – Capell sino a a20.

n

an

0

1

1

1

2

1

3

1

4

2

5

3

6

6

7

11

8

22

9

42

10

84

11

165

12

330

13

654

14

1308

15

2605

16

5210

17

10398

18

20796

19

41550

20

83100

 

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