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Narayana (numeri di) (I)

Matematica combinatoria  Sequenze 

Pandit Narayana fu uno dei maggiori matematici indiani della scuola di Kerala, vissuto nel XIV secolo. Propose un problema analogo a quello di Fibonacci, basato su mucche e vitelli, invece che su conigli. Mentre nel problema di Fibonacci una coppia di conigli ne genera un’altra ogni mese, a partire dal secondo mese di vita, nel problema di Narayana una mucca genera una vitella all’anno, a partire dal terzo anno di vita. La domanda è sempre il numero di animali presenti dopo un certo numero di generazioni, supponendo che nessuno muoia e che vi sia illimitata disponibilità di tori.

Il problema si risolve con una sequenza analoga a quella di Fibonacci, definita dalla ricorrenza Nn = Nn – 1 + Nn – 3, a partire da N0 = N1 = N2 = 1. La sequenza inizia quindi con 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, ….

 

La sequenza è anche detta “sequenza media”, perché intermedia tra quella di Fibonacci e quella di Padovan. I numeri che la compongono sono detti “numeri di Narayana”.

 

I numeri di Narayana hanno interessanti applicazioni combinatorie.

 

Il numero di modi per formare un rettangolo 3 × n con trimini dritti è Nn.

 

Il numero di modi per formare un rettangolo 2 × n con domini, in modo che non vi siano punti comuni a 4 domini è Nn + 2.

 

Il numero di sequenze di 0 e 1 di lunghezza n che non contengano le sottosequenze 00 e 010 è Nn + 1. Per esempio, vi sono N6 = 6 sequenze del genere con 4 termini:

  • 0110,

  • 0111,

  • 1011,

  • 1101,

  • 1110,

  • 1111.

 

Se si inizia con 1 e si sostituisce a ogni passo ogni cifra del numero precedente con suo triplo, si ottiene la sequenza 1, 3, 9, 27, 621, 1863, 324189, 961232427, 2718369612621, 6213249182718361863, 1863961227324621324918324189, 32418927183662196121863961227324961232427, 961232427621324918186327183632418927183662196122718369612621; il numero di cifre del termine n-esimo è Nn + 1.

 

Come nel caso dei numeri di Fibonacci, esiste una formula per trovare direttamente l’n-esimo termine: Formula per il calcolo dei numeri di Narayana, ovvero Nn è l’intero più vicino a abn, dove a è la radice reale dell’equazione x3 – 31x2 + 9x – 131 = 0, ossia Formula per il calcolo di a, e b è la radice reale dell’equazione x3x2 – 1 = 0, ossia Formula per il calcolo di b.

Dalla formula si vede che il rapporto tra termini consecutivi tende a b.

 

Altre formule per calcolare i termini della sequenza:

Nn = Nn – 2 + Nn – 3 + Nn – 4;

Formula per il calcolo dei numeri di Narayana;

Formula per il calcolo dei numeri di Narayana (Paul Barry, 2004);

Formula per il calcolo dei numeri di Narayana (Paul Barry, 2006);

Formula per il calcolo dei numeri di Narayana (Paul Barry, 2006).

 

Gli unici quadrati noti nella sequenza sono 1, 4, e 9; se ve ne sono altri, hanno indice superiore al milione. Ritengo probabile che, come nelle sequenze di Fibonacci e Lucas, siano in numero finito, ma che io sappia non è stato dimostrato.

 

La sequenza contiene alcuni primi, ma non si sa se siano infiniti. Quelli noti sono:

N2 = 2,

N3 = 3,

N8 = 13,

N9 = 19,

N11 = 41,

N16 = 277,

N21 = 1873,

N25 = 8641,

N81 = 17098272199297,

N6241 = 6849365766378467446978326385667781927469670487628371674691908182013084851928165436635530823422093820833072505220452819168426224698417033730696096802124609961514539363945880698557722830172369974215629974409100309310554312070374499820585111146395313025432459006188382399264572713246271269014939590944368352843045042194946382869652197365639154592947822973552246000565861123555749502410229304716134448952645738118047990577818761800967911365005948242083174741080173869958490175726932722594713861755883954074619479168401495301905629451236660686710721088942169540339831344694498491931373970927005018551690274136090025167800486292236261455137766863801213782889483884927513563747149485077034130423478371998260517401560513436557233284170800289191116525606885420079641873182037791747497438914404866642393147044383235017233369960473832430541259804497914591270674299430356360332492368110780634355247491804277395375226861319135930054472044438543096490861542935975974581196098938964949620809474752384616450709055700240201560741399865723104765360602113;

se ve ne sono altri, l’indice è superiore a 10000 (M. Fiorentini, 2013).

 

La funzione generatrice dei numeri di Narayana è Funzione generatrice dei numeri di Narayana.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Narayana sino a N20.

n

Nn

0

1

1

1

2

1

3

2

4

3

5

4

6

6

7

9

8

13

9

19

10

28

11

41

12

60

13

88

14

129

15

189

16

277

17

406

18

595

19

872

20

1278

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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