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Apéry (numeri di)

Analisi  Sequenze  Teoria dei numeri 

Sono i numeri della successione An, utilizzata nella dimostrazione dell’irrazionalità della costante di Apéry ζ(3): Formula per il calcolo dei numeri di Apéry A(n).

La formula equivale a Formula per il calcolo dei numeri di Apéry A(n) (seconda identità di Strehl).

 

Tali numeri si possono ottenere anche dalla ricorrenza Ricorrenza per il calcolo dei numeri di Apéry A(n), con A0 = 1, A1 = 5 e fungono da denominatori qn in una sequenza di frazioni tali che Successione che converge al numero di Apéry, nella quale i numeratori pn si ottengono dalla stessa ricorrenza, ma con A0 = 0, A1 = 6.

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

pn

qn

0

0

1

1

6

5

2

Valore di p(2)

73

3

Valore di p(3)

1445

4

Valore di p(4)

33001

5

Valore di p(5)

819005

6

Valore di p(6)

21460825

7

Valore di p(7)

584307365

8

Valore di p(8)

16367912425

9

Valore di p(9)

468690849005

10

Valore di p(10)

13657436403073

11

Valore di p(11)

403676083788125

12

Valore di p(12)

12073365010564729

13

Valore di p(13)

364713572395983725

14

Valore di p(14)

11111571997143198073

15

Valore di p(15)

341034504521827105445

16

Valore di p(16)

10534522198396293262825

17

Valore di p(17)

327259338516161442321485

18

Valore di p(18)

10217699252454924737153425

19

Valore di p(19)

320453816254421403579490445

20

Valore di p(20)

10090942470266994032842836001

 

I primi noti tra i vari qn sono: q1 = 5, q2 = 73, q12 = 12073365010564729, q24 = 10258527782126040976126514552283001 e q6624.

 

Apéry dimostrò che Formula che lega numeratori e denominatori della successione di frazioni convergenti al numero di Apéry e che Formula per la differenza tra il numero di Apéry e le frazioni convergenti, da cui segue che Formula per la differenza tra il numero di Apéry e le frazioni convergenti diminuisce come il quadrato dei denominatori e dato che Formula per il limite del rapporto tra denominatori successivi, ζ(3) non può essere razionale.

 

In modo analogo si può dimostrare l’irrazionalità di ζ(2), sfruttando la successione Formula per il calcolo dei numeri di Apéry B(n). In questo caso la ricorrenza è Ricorrenza per il calcolo dei numeri B(n), i numeratori si ottengono con B0 = 0, B1 = 5, i denominatori con B0 = 1, B1 = 3 e Formula che lega numeratori e denominatori della successione di frazioni convergenti a ζ(2).

La dimostrazione è però molto meno interessante, perché è noto da tempo che Valore di ζ(2) è trascendente.

 

La tabella seguente mostra i primi valori.

n

pn

qn

0

0

1

1

5

3

2

Valore di p(2)

19

3

Valore di p(3)

147

4

Valore di p(4)

1251

5

Valore di p(5)

11253

6

Valore di p(6)

104959

7

Valore di p(7)

1004307

8

Valore di p(8)

9793891

9

Valore di p(9)

96918753

10

Valore di p(10)

970336269

11

Valore di p(11)

9807518757

12

Valore di p(12)

99912156111

13

Valore di p(13)

1024622952993

14

Valore di p(14)

10567623342519

15

Valore di p(15)

109527728400147

16

Valore di p(16)

1140076177397091

17

Valore di p(17)

11911997404064793

18

Valore di p(18)

124879633548031009

19

Valore di p(19)

1313106114867738897

20

Valore di p(20)

13844511065506477501

 

I primi noti tra i vari qn sono: q1 = 2, q2 = 19, q6 = 104959 e q8 = 9793891; non ve ne sono altri per n < 45000 (Eric Weisstein, 2004).

 

Nel 2013 Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono che, per n abbastanza grande:

  • Formula che coinvolge i numeri A(n) è strettamente decrescente;

  • Formula che coinvolge i numeri B(n) è strettamente decrescente.

La prima proprietà faceva parte di una serie di congetture proposte da Zhi-Wei Sun l’anno precedente.

 

Questi numeri soddisfano alcune curiose congruenze:

  • Apn ≡ An mod p3, per p primo maggiore di 3 (I. Gessel, 1982);

  • Ampk – 1Ampk – 1 – 1 mod p3k, per p primo maggiore di 3;

  • Bmpk – 1Bmpk – 1 – 1 mod p3k, per p primo maggiore di 3;

  • Congruenza soddisfatta dai numeri B(n)
  • se p è un primo della forma 4k + 1, Congruenza soddisfatta dai numeri B(n) (Zhi-Wei sun, 2011);
  • se p è un primo della forma 4k + 3, Congruenza soddisfatta dai numeri B(n) (Zhi-Wei sun, 2011);

Le ultime due spinsero Sun ad avanzare le congetture che:

  • se p è un primo dispari, esprimibile come x2 + 2y2, Congruenza soddisfatta da una somma contenente i numeri A(n);

  • se p è un primo della forma 8k + 5 o 8k + 7, Congruenza soddisfatta da una somma contenente i numeri A(n).

 

I numeri di Apéry An, come i numeri di Franel, sono legati al problema di Schmidt, così detto dal nome del matematico che nel 1993 propose il problema di determinare identità del tipo Formula del problema di Schmidt con Coefficiente della formula del problema di Schmidt intero, funzione esclusivamente di n e r.

Strehl trovò la risposta per il caso r = 2 con la prima identità di Strehl (1993) e r = 3 con la seconda (1994), poi Zudilin trovò nel 2004 la soluzione generale:

  • per r = 2 i coefficienti Coefficiente nella prima identità di Strehl sono i numeri di Franel Formula per il calcolo dei numeri di Franel;

  • per r = 3, Coefficiente nella seconda identità di Strehl;

  • per r = 4, Coefficiente della soluzione del problema di Strehl per r = 4;

  • per r = 5, Coefficiente della soluzione del problema di Strehl per r = 5.

 

Nel 2004 Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan dimostrarono che Congruenza che coinvolge serie che generalizzano i numeri di Apéry per pprimo maggiore di 3, mentre la serie Serie che generalizza i numeri di Apéry divisa per 3 dà resto:

  • (–1)d(n), dove d(n) è il numero di cifre 1 nella rappresentazione in base 3 di n, se s è pari;

  • 0, se s è dispari e n si rappresenta in base 3 senza cifre 1;

  • 1 altrimenti.

 

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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