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Primi di Wolstenholme

Teoria dei numeri 

La congruenza C(2 * p – 1, p – 1) ≡ 1 mod p vale se p è primo, il quadrato di un primo dispari o il cubo di un primo maggiore di 3.

Nel 1819 Charles Babbage dimostrò che se p è primo dispari, C(2 * p – 1, p – 1) ≡ 1 mod p^2 o, equivalentemente, C(2 * p, p) ≡ 2 mod p^2. Nel 1862 Joseph Wolstenholme (Eccles, UK, 30/9/1829 – 18/11/1891) dimostrò che se p è primo e maggiore di 3, C(2 * p – 1, p – 1) ≡ 1 mod p^3. La congruenza può valere modulo p4? Molto raramente. I numeri primi per i quali C(2 * p – 1, p – 1) ≡ 1 mod p^4 sono detti “primi di Wolstenholme”; gli unici noti sono 16843 (Selfridge e Pollack, 1964) e 2124679 (J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall e T. Metsänkylä, 1993).

Nel 1995 R.J. McIntosh estese le ricerche fino a 2 • 108, nel 2001 V. Trevisan e K.E Weber arrivarono a 2.5 • 108, poi nel 2007 McIntosh e E.L. Roettger dimostrarono che non ve ne sono altri minori di 109. Il limite fu in seguito portato a 2.4 • 109.

 

Un primo maggiore di 3 è un primo di Wolstenholme se e solo se vale una delle seguenti condizioni, equivalenti tra loro:

  • C(2 * p^2 – 1, p^2 – 1) ≡ 1 mod p^4 (R.J. McIntosh, 1995);

  • C(2 * p^4 – 1, p^4 – 1) ≡ 1 mod p^4 (R.J. McIntosh, 1995);

  • Wp = (C(2 * p – 1, p – 1) – 1) / p^3 è multiplo di p, condizione che è equivalente a Wp ≡ – 2 / 3 * B(p – 3) mod p;

  • C(2 * p – 1, p – 1) ≡ 1 – 2 * p * H(p – 1) – 2 * p^2 * H(p – 1, 2) mod p^7 (R. Meštrović, 2011);

  • p divide il numeratore di Bp – 3, pertanto i primi di Wolstenholme sono primi irregolari;

  • il numeratore di Hp – 1 è multiplo di p3;

  • il numeratore di Hp – 1, 2 è multiplo di p2;

  • Congruenza necessaria e sufficiente perché un numero primo sia un primo di Wolstenholme.

Da notare che Congruenza soddisfatta dai numeri primi maggiori di 7, per p primo maggiore di 7 (R.J. McIntosh, 1995), quindi un’altra condizione equivalente è che p divide il numeratore di Somma il cui numeratore è multiplo di p se e solo se p è un primo di Wolstenholme.

 

L’interesse per questi primi nacque perché nel 1847 Cauchy dimostrò che se esiste un controesempio al primo caso dell’ultimo teorema di Fermat (ossia una soluzione intera dell’equazione xp + yp = zp con x, y e z non multipli di p), allora p divide il numeratore di Bp – 3, pertanto è un primo di Wolstenholme.

 

Romeo Meštrović dimostrò nel 2011 che se p è un primo di Wolstenholme valgono le congruenze:

  • Congruenza soddisfatta dai primi di Wolstenholme;

  • Congruenza soddisfatta dai primi di Wolstenholme;

  • Congruenza soddisfatta dai primi di Wolstenholme;

  • Congruenza soddisfatta dai primi di Wolstenholme.

 

Una questione irrisolta è se valga l’inverso del teorema di Wolstenholme, ossia se la condizione C(2 * n – 1, n – 1) ≡ 1 mod n^3 basti a garantire che n è primo. Nel 2001 V. Trevisan e K.E. Weber dimostrarono che C(2 * n – 1, n – 1) mod n^3 è diverso da 1 se n è pari.

 

L’opinione prevalente tra gli esperti è che l’inverso valga, visto che sono già rarissimi i numeri composti per i quali C(2 * n – 1, n – 1) ≡ 1 mod n (v. pseudoprimi di Wolstenholme) e che gli unici interi noti tali che C(2 * n – 1, n – 1) ≡ 1 mod n^2 sono i primi di Wolstenholme e i loro quadrati e si suppone che non ne esistano altri. R.J. McIntosh verificò nel 1995 questa congettura fino a 109.

 

Si ritiene che C(2 * n – 1, n – 1) ≡ 1 mod n^5 non valga per alcun intero.

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