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Ipercubo di DeVicci (costante dello)

Geometria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Estensione del problema ai poligoni regolari
  3. 3. Estensione del problema agli altri solidi platonici

Qual è lo spigolo del massimo cubo che può passare in un foro praticato in un cubo di spigolo unitario? Si intende che il cubo non deve essere diviso dal foro in parti disgiunte.

Il foro deve avere una sezione quadrata; il massimo quadrato che si può ricavare all'interno di un cubo di spigolo unitario è mostrato in rosso nella figura seguente.

 

Massima sezione quadrata ricavabile da un cubo

 

Il quadrato di vertici A, B, C e D giace all’interno di una sezione esagonale (non regolare) del cubo di area Area della sezione esagonale e i suoi vertici distano Distanza di ogni vertice del quadrato dal più vicino vertice del cubo dal più vicino vertice del cubo. Il lato del quadrato è Lato del del quadrato, quindi si può far passare un cubo in un foro praticato in un cubo più piccolo (lasciando pareti infinitamente sottili).

 

I vertici del quadrato, insieme con altri due punti, chiamati P e Q nella figura, anch’essi a distanza Distanza dei punti P e Q dal più vicino vertice del cubo dal vertice più vicino, costituiscono i vertici del massimo ottaedro che può essere inscritto nel cubo. I tre quadrati A, B, C, D; P, A, Q, C e P, B, Q, D sono uguali e si intersecano ad angolo retto.

 

Il massimo cubo che può attraversare un cubo dato è anche noto come “Cubo del principe Rupert”, perché John Wallis (Ashford, UK, 21/11/1616 – Oxford, UK, 28/10/1703) nel capitolo intitolato “Perforatio cubi, alterum ipsi aequalem recipiens” (Foratura di un cubo, che ne contiene uno uguale a esso), in De Algebra Tractatus, Oxford 1693, attribuisce al principe Rupert (17/12/1619 – 29/11/1682), nipote di Carlo I d’Inghilterra, il problema di far passare un cubo in un foro praticato in un altro cubo uguale. Il principe aveva scommesso nel 1693 che un cubo poteva passare attraverso un foro praticato in uno più piccolo e Wallis dimostrò che era in effetti possibile, facendogli vincere la scommessa.

 

Wallis suppose erroneamente che il massimo foro quadrato sia perpendicolare a una delle diagonali interne del cubo. La massima sezione perpendicolare a una diagonale interna è un esagono regolare di lato Lato della sezione esagonale e area Area della sezione esagonale, contenente il centro del cubo, che è la massima sezione a forma di esagono regolare, ma non la massima sezione esagonale.

La figura seguente mostra il massimo quadrato ritagliabile da un esagono regolare.

 

Massimo quadrato ricavabile da un esagono regolare

 

In questo caso BC è Rapporto tra la lunghezza di BC e il lato dell'esagono volte il lato AB dell’esagono e il lato del quadrato è Rapporto tra il lato del quadrato e quello dell'esagono volte quello dell’esagono. Il massimo quadrato che la sezione a esagono regolare del cubo possa contenere ha lato Lato del massimo quadrato contenuto nella sezione esagonale del cubo, quindi minore dello spigolo del cubo.

 

Non è però necessario che il foro sia contenuto in questa sezione: può anche estendersi al di fuori, se il cubo viene mantenuto unito dalle parti rimanenti al di sopra e al di sotto del piano della sezione. Si può quindi considerare “forabile” non la massima sezione, ma la massima proiezione esagonale. La proiezione di un cubo di spigolo unitario su un piano perpendicolare a una delle diagonali interne è un esagono regolare di lato Lato della proiezione esagonale, pertanto nella proiezione può essere inscritto un quadrato di lato Lato del massimo quadrato contenuto nella proiezione esagonale del cubo. Il foro che ha per proiezione questo quadrato ed è parallelo alla diagonale del cubo permette a un cubo di spigolo lievemente maggiore di passare entro quello forato e fece vincere la commessa al principe, grazie all’aiuto di Wallis, ma non costituisce la miglior soluzione possibile.

 

La prima soluzione corretta arrivò solo oltre un secolo dopo, grazie al matematico olandese Pieter Nieuwland (Diemermeer, Olanda, 5/11/1764 – Leiden, Olanda 14/11/1794), pubblicata però postuma solo nel 1816. Da allora il problema è stato riproposto in numerose opere, sia di carattere tecnico, che ricreativo.

 

Jerrard e Wetzel generalizzarono il problema alla ricerca del massimo rettangolo con rapporto fissato tra i lati che possa essere inscritto in un cubo, dimostrando che deve passare per il centro del cubo e avere i vertici sugli spigoli del cubo.

 

Nel caso del cubo, il problema è stato generalizzato a dimensioni superiori, cercando il massimo spigolo f(m, n) di un cubo a m dimensioni contenuto in un cubo a n dimensioni; f(n – 1, n) è quindi il massimo spigolo di un ipercubo a n dimensioni che possa attraversare un foro praticato in un ipercubo di spigolo unitario.

 

Kay R. Pechenick DeVicci dimostrò nel 1996 che:

  • Valore di f(m, n), se m divide n, se m divide n, e quindi in particolare Valore di f(1, n) è la lunghezza del massimo segmento contenuto in un ipercubo, ossia la lunghezza della sua diagonale interna;

  • Valore di f(2, n), se n è dispari, se n è dispari, e Valore di f(2, n), se n è pari, se n è pari.

 

Il massimo cubo che si può far passare in un ipercubo a 4 dimensioni di spigolo unitario ha per spigolo f(3, 4), che è la radice quadrata della minima soluzione positiva dell’equazione 4x4 – 28x3 – 7x2 + 16x + 16, cioè circa 1.0074347569, che Finch chiama “costante dell’ipercubo di DeVicci”, anche se Eugen Bosch era giunto in precedenza allo stesso risultato, senza però dimostrarlo ottimale.

 

G. Huber dimostrò nel 1999 che Valore di f(3, 5).

 

Nel caso generale il problema non è ancora stato completamente risolto, tuttavia è stato dimostrato che f(m, n) è sempre un numero algebrico, ossia che è radice di un’equazione polinomiale a coefficienti interi, che Limite superiore per il valore di f(m, n) e che f(m + 1, n) < f(m, n) < f(m, n + 1).

 

Se non ci si limita a poligoni o poliedri regolari, il problema diviene poco interessante. Scegliendo opportunamente due figure simili, non esiste limite al rapporto tra le dimensioni del solido che passa nel foro e quelle del solido forato; per convincersene, basta considerare un rettangolo di lati 1 e l, come quello mostrato nella figura seguente.

 

Massima sezione di un rettangolo di lati 1 e l

 

Lungo la diagonale si può praticare un taglio di lunghezza Lunghezza della massima sezione di un rettangolo di lati 1 e l, attraverso il quale far passare un rettangolo l volte più grande, ossia di lati l e l2, per qualsiasi valore di l. Il rettangolo passerà attraversando il foro col suo lato minore.

 

Aggiungendo una terza dimensione, ossia trasformando il rettangolo in un parallelepipedo, di spessore trascurabile, si ottiene un solido attraverso il quale può passare uno l volte più grande e continuando ad aggiungere altre dimensioni, sempre con lunghezze trascurabili rispetto a 1, si ottiene una soluzione valida in qualsiasi numero di dimensioni.

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