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Apéry (costante di)

Analisi  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore
  4. 4. Approssimazioni

La costante di Apéry è Somma dei recipoci dei cubi degli interi da 1 a infinito.

 

Perché un valore particolare di una funzione merita un nome? E’ noto che i valori ζ(n) per n pari sono multipli razionali di πn (come dimostrò Eulero), quindi trascendenti, ma ben poco si sapeva sino al 1978 sui valori per n dispari: si sospettava che fossero trascendenti, ma la dimostrazione non sembrava possibile. Apéry dimostrò che ζ(3) è irrazionale, aprendo la prima breccia.

La sua dimostrazione non si può estendere agli altri valori di ζ(n), ma riaccese le speranze di successo e la comunità dei matematici decise di intitolargli la costante.

Per ora però non sono stati fatti grandi progressi nel dimostrare la trascendenza, o almeno l’irrazionalità di altri valori di ζ(n) per n dispari.

 

Tanguy Rivoal dimostrò nel 2001 che esistono infiniti interi dispari per i quali la funzione ζ è irrazionale, poi che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9) ... ζ(21) è irrazionale. L’anno seguente Zulidin dimostrò che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) è irrazionale.

Non sappiamo se ζ(3) sia un multiplo razionale di π3.

Il limite superiore per la misura di irrazionalità dimostrato da Apéry era Misura dell'irrazionalità della costante di Apéry, poi ridotto progressivamente da vari matematici sino a circa 5.513891 (Rhin e Viola, 2001).

La misura di irrazionalità di ζ(3)2 è al massimo 13.42 (M. Hata, 2000); le due misure sarebbero naturalmente 2 se ζ(3) fosse algebrico.

 

Il reciproco della costante, pari a circa 0.8319073726, è la probabilità che tre interi minori di n scelti a caso non abbiano divisori comuni, per n tendente a infinito.

 

Se si sviluppa la costante come frazione continua, la media geometrica dei termini sembra convergere alla costante di Khinchin e quella dei denominatori delle frazioni ottenute alla costante di Lévy, come del resto ci si attende dalla maggior parte dei numeri reali.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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