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Biquaternioni

Algebra 

I biquaternioni costituiscono un’algebra a otto dimensioni associativa, ma non commutativa sui reali. Si ottengono aggiungendo ai numeri complessi tre numeri: i, j e k non nulli, né positivi né negativi né reali, diversi da 1 e tra loro.

Un biquaternione si esprime quindi come a + bi + cj + dk, con a, b, c e d complessi, mentre i, j e k sono le unità aggiuntive dei quaternioni.

 

Dato che esistono tre tipi di numeri complessi, possiamo ottenere tre tipi di biquaternioni, utilizzando per a, b, c e d:

  • i numeri complessi, ottenendo quelli che sono chiamati “biquaternioni ordinari” o semplicemente “biquaternioni”, introdotti da William Rowland Hamilton nel 1853;

  • i numeri duali, ottenendo quelli che sono chiamati “quaternioni duali” o “biquaternioni di Study”, perché introdotti da Aleksandr Petrovich Kotelnikov (1865 – 1944) e Edward Study (Coburg, 23/3/1862 – Bonn, 6/1/1930) nel 1898;

  • i numeri iperbolici, ottenendo quelli che sono chiamati “split-quaternioni”, introdotti da William Kingdon Clifford (Exeter, 4/5/1845 – 3/3/1879) nel 1873.

 

Nelle moltiplicazioni le tre “unità” aggiuntive soddisfano le relazioni delle corrispondenti unità dei quaternioni:

  • ij = –ji = k;

  • ik = –ki = –j;

  • jk = –kj = i;

  • i2 = j2 = k2 = –1.

Da queste si deduce che ijk = –1.

 

Le proprietà di i, j e k ci permettono di definire le operazioni sui biquaternioni:

  • (a + bi + cj + dk) ± (e + fi + gj + hk) = (a ± e) + (b ± f)i + (c ± g)j + (d ± g)k;

  • (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) = (aebfcgdh) + (af + be + chdg)i + (agbh + ce + df)j + (ah + bgcf + de)k;

  • Formula per la divisione di biquaternioni, per e2f2g2h2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un biquaternione con modulo nullo).

 

Un biquaternione a + bi + cj + dk può essere rappresentato anche come q1 + hq2, dove q1 e q2 sono quaternioni ordinari, mentre h rappresenta:

  • l’unità duale ε, per i quaternioni duali;

  • l’unità immaginaria j, per gli split-quaternioni.

 

Per quanto riguarda i biquaternioni ordinari valgono le proprietà seguenti.

 

Si può definire il “coniugato” di un biquaternione ordinario x = a + bi + cj + dk in due modi:

  • come x = a – bi – cj – dk, detto “biconiugato”.

  • come x* = a + bi + cj + dk, detto “coniugato complesso”.

Il modulo di un biquaternione ordinario è definito come il prodotto tra il numero e il suo biconiugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = a2 + b2 + c2 + d2, ma dato che a, b, c e d sono numeri complessi, e a differenza di quanto accade per reali, complessi e quaternioni, può essere negativo e non è una norma.

 

Un biquaternione ordinario a + bi + cj + dk può anche essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione matriciale dei biquaternioni, dove h rappresenta l’unità immaginaria dei numeri complessi, per la quale non si può usare in questo caso il consueto simbolo i, per non confonderla con l’unità di quaternioni e biquaternioni; con questa rappresentazione si conservano le proprietà delle operazioni.

 

Per quanto riguarda i biquaternioni duali valgono le proprietà seguenti.

 

Si può definire il “coniugato” di un quaternione duale x = a + bi + cj + dk come x = a – bi – cj – dk.

Il modulo di un quaternione duale è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = aa + bb + cc + dd, e come accade per reali, complessi e quaternioni, non è mai negativo.

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