Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Whittaker – Goncharov (costante di)

Analisi 

Data una funzione f, analitica in tutti i punti finiti del piano complesso, tale che la funzione e tutte le sue derivate abbiano almeno uno zero nel cerchio di raggio 1 centrato sull’origine, quali condizioni aggiuntive servono per poter stabilire che è zero dappertutto?

Una condizione è Condizione sufficiente perché la funzione sia nulla ovunque, dove Mr(f) è l’estremo superiore del modulo dei valori della funzione per argomenti (complessi) di valore assoluto non superiore a r. In altri termini, se la funzione non cresce “abbastanza velocemente” è nulla dappertutto.

 

Tuttavia log2 non è il miglior limite possibile; la costante di Whittaker – Goncharov è definita come l’estremo superiore dei valori di x tali che se Condizione sufficiente perché la funzione sia nulla ovunque, la funzione è identicamente nulla. La funzione f(z) = cos(z) + sin(z) mostra che la costante non possa essere superiore a Limite superiore per il valore della costante di Whittaker – Goncharov.

Nel 1944 R.P. Boas suppose che la costante sia Valore supposto per la costante di Whittaker – Goncharov, ipotesi che parve rafforzata dal lavoro di S.S. Macintyre, che nel 1947 dimostrò che la costante è compresa tra 0.7259 e 0.7378.

 

R.S. Varga e P.S. Wang dimostrarono però nel 1979 che la costante è maggiore di 0.7360, demolendo la congettura.

 

Più recentemente il limite superiore è stato ridotto a 0.7377507574 (R.S. Varga e P.S. Wang, 1979) mentre J. Waldvogel portò nel 1987 il limite inferiore a 0.73775075, ma a quest’ultimo lavoro manca per ora un rigoroso supporto teorico.

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