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Whitney (numeri di)

Matematica combinatoria 

Il numero di Whitney W(n, k) è il numero massimo di parti nelle quali k iperpiani di dimensione n – 1 dividono uno spazio a n dimensioni.

Per esempio, W(2, k) è il numero massimo di regioni nelle quali k rette dividono il piano e W(3, k) è il numero massimo di regioni nelle quali k piani dividono lo spazio.

 

Congiungendo a coppie con segmenti in tutti i modi possibili n punti disposti su una circonferenza, si divide il cerchio in al massimo W(4, n – 1) parti.

 

Il numero di Whitney W(n, k) è anche il numero di sequenze binarie di lunghezza k contenenti al massimo n volte 1. Per esempio, vi sono W(2, 4) = 11 sequenze di lunghezza 4 contenenti al massimo 2 volte 1:

  • 0000,

  • 0001,

  • 0010,

  • 0011,

  • 0100,

  • 0101,

  • 0110,

  • 1000,

  • 1001,

  • 1010,

  • 1100.

 

W(n, k) = 2k per knFormula per i numeri di Whitney per k > n, e in particolare W(n, n + 1) = 2n + 1 – 1.

 

Fissato n, W(n, k) è un polinomio in k di grado n:

  • W(1, k) = k + 1;

  • Formula per i numeri di Whitney W(2, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(3, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(4, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(5, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(6, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(7, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(8, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(9, k);

  • Formula per i numeri di Whitney W(10, k).

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Whitney per n e k fino a 20.

n \ k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

1

2

4

7

11

16

22

29

37

46

56

3

1

2

4

8

15

26

42

64

93

130

176

4

1

2

4

8

16

31

57

99

163

256

386

5

1

2

4

8

16

32

63

120

219

382

638

6

1

2

4

8

16

32

64

127

247

466

848

7

1

2

4

8

16

32

64

128

255

502

968

8

1

2

4

8

16

32

64

128

256

511

1013

9

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1023

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

11

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

12

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

13

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

14

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

15

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

16

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

17

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

18

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

19

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

20

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

n \ k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

2

67

79

92

106

121

137

154

172

191

211

3

232

299

378

470

576

697

834

988

1160

1351

4

562

794

1093

1471

1941

2517

3214

4048

5036

6196

5

1024

1586

2380

3473

4944

6885

9402

12616

16664

21700

6

1486

2510

4096

6476

9949

14893

21778

31180

43796

60460

7

1816

3302

5812

9908

16384

26333

41226

63004

94184

137980

8

1981

3797

7099

12911

22819

39203

65536

106762

169766

263950

9

2036

4017

7814

14913

27824

50643

89846

155382

262144

431910

10

2047

4083

8100

15914

30827

58651

109294

199140

354522

616666

11

2048

4095

8178

16278

32192

63019

121670

230964

430104

784626

12

2048

4096

8191

16369

32647

64839

127858

249528

480492

910596

13

2048

4096

8192

16383

32752

65399

130238

258096

507624

988116

14

2048

4096

8192

16384

32767

65519

130918

261156

519252

1026876

15

2048

4096

8192

16384

32768

65535

131054

261972

523128

1042380

16

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131071

262125

524097

1047225

17

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072

262143

524268

1048365

18

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072

262144

524287

1048555

19

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072

262144

524288

1048575

20

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072

262144

524288

1048576

 

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