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Hadwiger (congettura di) (II)

Congetture  Geometria 

La congettura proposta da Hugo Hadwiger nel 1957 afferma che qualsiasi corpo convesso a n dimensioni può essere contenuto in 2n copie di dimensioni minori del corpo stesso, non ruotate o riflesse.

La limitazione che il corpo sia convesso è fondamentale, perché rendendo infinitamente sottile una corona circolare, si può fare in modo che serva un numero grande a piacere di corone più piccole e lo stesso accade con sfere o ipersfere cave a n dimensioni.

 

Il numero 2n non può essere ridotto nel caso di parallelepipedi, ma Hadwiger suppose anche che bastino meno copie per corpi di qualsiasi altra forma.

 

La congettura fu resa famosa da Hadwiger e porta generalmente il suo nome, però F.W. Levi l’aveva già studiata nel 1955 e infatti alcuni Autori preferiscono chiamarla “congettura di Levi – Hadwiger”, anche se questo crea confusione con la congettura di Levi – Hadwiger sui grafi.

 

La congettura sembra ovvia: basta pensare a un quadrato suddiviso in 4 quadrati più piccoli o a un cubo diviso in 8 cubetti. In questi casi quadratini o cubetti hanno il lato o lo spigolo uguale a metà dell’originale, ma la congettura non richiede che i corpi contenenti abbiano dimensioni prefissate. Potendo scegliere copie appena più piccole dell’originale, non sembra difficile realizzare il contenimento richiesto. Infatti, in molti casi bastano meno copie: bastano 3 cerchi ridotti di un fattore Fattore di riduzione per i cerchi per contenerne uno di dimensioni maggiori, come mostra la figura seguente.

 

Cerchio contenuto in tre cerchi più piccoli

 

Nel caso della sfera ne bastano quattro, ridotte di un fattore Fattore di riduzione per le sfere.

 

Di fatto la congettura afferma che il corpo originale è contenuto in al massimo 2n copie, che possono sovrapporsi o intersecarsi e formare un corpo più grande dell’originale, ma per “evidente” che possa sembrare, la congettura non è stata dimostrata.

 

F.W. Levi dimostrò che in due dimensioni bastano sempre 4 copie e che 3 sono sufficienti, tranne nel caso di parallelogrammi. In 3 dimensioni è stato dimostrato che bastano 16 copie, il doppio di quanto indicato dalla congettura, e il miglior limite noto in n dimensioni è 4n5nlogn.

La congettura è stata dimostrata per alcune categorie di corpi, inclusi gli iperparallelepipedi e in 3 dimensioni i poliedri simmetrici e i corpi di ampiezza costante (corpi convessi tali che la distanza tra due piani paralleli tangenti al corpo da parti opposte sia la stessa, comunque siano orientati i piani).

 

Levi dimostrò che bastano n + 1 copie per gli ipertetraedri (più propriamente simplessi) e per tutti i corpi privi di vertici o spigoli (tecnicamente, tutti i corpi che hanno un solo piano tangente in ogni punto), incluse le ipersfere e gli iperellissoidi. Nel caso degli ipertetraedri le copie devono essere ridotte di un fattore Fattore di riduzione per gli ipertetraedri.

 

Una congettura collaterale è che se servono s copie più piccole, uguali a m1, m2, m3, … ms volte l’originale, la somma dei coefficienti deve essere almeno n. La congettura è stata dimostrata nel 1993 da Valeriu Soltan e Éva Vásárhelyi in 2 dimensioni e nel caso s = n + 1.

 

Vladimir Grigorevich Boltyansky dimostrò un collegamento a dir poco sorprendente tra la congettura di Hadwiger e un problema di illuminazione.

Definiamo “completamente illuminato” un punto della superficie di un corpo da una fonte di luce se ogni piano tangente al corpo nel punto lascia il corpo da una parte e la fonte di luce dall’altra.

Per esempio, secondo questa definizione la fonte di luce L nella figura seguente illumina il lato più vicino del quadrato, ma non il vertice V, perché la retta r, tangente al quadrato in V, non separa il quadrato dalla fonte di luce.

 

Vertice V non illuminato dalla fonte L

 

 

Questa definizione di illuminazione fa aumentare il numero di fonti di luce necessarie per illuminare un corpo: per illuminare, secondo l’accezione comune del termine, un cubo o un quadrato bastano due fonti di luce, collocate in prossimità di due vertici opposti, ma la definizione fa sì che ne siano necessarie 8 per un cubo e 4 per il quadrato.

La connessione con la congettura è la dimostrazione di Boltyansky che il numero di fonti di luce necessarie per illuminare tutta la superficie di un corpo solido opaco a n dimensioni è uguale al numero di copie più piccole dell’oggetto necessarie per contenerlo.

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