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Coquaternioni

Algebra 

I coquaternioni costituiscono un’algebra quadrimensionale associativa, ma non commutativa, sui reali, analoga a quella dei quaternioni. Si ottengono aggiungendo ai reali tre numeri: i, j e k non nulli, né positivi né negativi né reali, diversi da 1 e tra loro.

Un coquaternione si esprime quindi come a + bi + cj + dk, con a, b, c e d reali.

 

Furono introdotti da Sir James Cockle (14/1/1819 – 27/1/1895) nel 1849.

 

Nelle moltiplicazioni le tre “unità” aggiuntive soddisfano le relazioni:

  • ij = –ji = k;

  • ik = –ki = –j;

  • jk = –kj = –i;

  • i2 = –1;

  • j2 = 1;

  • k2 = 1.

Da queste si deduce che ijk = 1.

 

Si può definire il “coniugato” di un coquaternione x = a + bi + cj + dk come x = a – bi – cj – dk.

Il modulo di un coquaternione è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = a2 + b2c2d2 e a differenza di quanto succede per reali, complessi e quaternioni può essere negativo e non è una norma.

 

Le proprietà di i, j e k ci permettono di definire le operazioni sui coquaternioni:

  • (a + bi + cj + dk) ± (e + fi + gj + hk) = (a ± e) + (b ± f)i + (c ± g)j + (d ± g)k;

  • (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) = (aebf + cg + dh) + (af + bech + dg)i + (agbh + ce + df)j + (ah + bgcf + de)k;

  • Formula per la divisione di coquaternioni, per e2 + f2g2h2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un coquaternione con modulo nullo).

 

Un coquaternione a + bi + cj + dk può anche essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione matriciale di di coquaternioni, dove x = a + bi e y = c + di sono ordinari numeri complessi e x e y sono i loro coniugati, conservando le proprietà delle operazioni; con questa rappresentazione il modulo è il determinante della matrice.

Un’altra rappresentazione matriciale che conserva le proprietà delle operazioni è Rappresentazione matriciale di di coquaternioni; anche in questo caso il modulo è il determinante della matrice.

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