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Quaternioni iperbolici

Algebra 

I quaternioni iperbolici costituiscono un’algebra quadrimensionale associativa, ma non commutativa, sui reali, analoga a quella dei quaternioni. Si ottengono aggiungendo ai reali tre numeri: i, j e k non nulli, né positivi né negativi né reali, diversi da 1 e tra loro.

Un quaternione iperbolico si esprime quindi come a + bi + cj + dk, con a, b, c e d reali.

 

Furono introdotti da Alexander Macfarlane (21/4/1851 – 28/8/1913) nell’ultima decade del XIX secolo.

 

Nelle moltiplicazioni le tre “unità” aggiuntive soddisfano le relazioni:

  • ij = –ji = k;

  • ki = –ik = j;

  • jk = –kj = i;

  • i2 = j2 = k2 = 1.

Da queste si deduce che ijk = 1.

 

Si può definire il “coniugato” di un quaternione iperbolico x = a + bi + cj + dk come x = a – bi – cj – dk.

Il modulo di un quaternione iperbolico è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = a2b2i – c2j – d2k e, a differenza di quanto succede per reali, complessi e quaternioni, può essere negativo e non è una norma.

 

Le proprietà di i, j e k ci permettono di definire le operazioni sui quaternioni iperbolici:

  • (a + bi + cj + dk) ± (e + fi + gj + hk) = (a ± e) + (b ± f)i + (c ± g)j + (d ± g)k;

  • (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) = (ae + bf + cg + dh) + (af + be + chdg)i + (agbh + ce + df)j + (ah + bgcf + de)k;

  • Formula per il quoziente di quaternioni iperbolici, per e2f2g2h2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un quaternione iperbolico con modulo nullo).

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