Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Per ricordare alcune cifre di π sono stati escogitati molti sistemi ingegnosi, per lo più basati sul numero di lettere che compongono le parole di una frase.

Esistono praticamente in tutte le lingue; elenco alcune delle frasi più famose, raggruppate per lingua.

 

Cominciamo col francese.

 

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages!

Immortel Archimède, artiste ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur?

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l’admirable procédé, l'œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

0 quadrature! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l’espace plan circulaire?

Former un triangle auquel il équivaudra?

Nouvelle invention: Archimède inscrira

Dedans un hexagone; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra:

Dédoublera chaque élément antérieur;

Toujours de l’orbe calculée approchera;

Définira limite enfin, l’arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle.

Professeur, enseignez son problème avec zèle.

 

(Mi piace imparare questo numero utile per i saggi!

Immortale Archimede, artista ingegnere,

chi a tuo parere potrebbe apprezzare il valore?

Per me, il tuo problema era di uguale vantaggio.

Una volta, misterioso, un bloblema bloccò

tutto lo schema ammirevole, l’opera grandiosa

che Pitagora scoprì agli antichi Greci.

0 quadratura! Vecchio tormento del filosofo

insolubile rotondità, troppo a lungo hai

sfidato Pitagora e i suoi imitatori.

Come integrare lo spazio piano circolare?

Costruire un triangolo al quale equivarrà?

Nuova invenzione; Archimede inscriverà

all’interno un esagono; valuterà la sua area

funzione del raggio. Non troppo ci vorrà:

raddoppierà ciascun elemento anteriore;

sempre s’avvicinerà al globo calcolato;

definirà limite infine l’arco, il limitatore

di questo inquietante cerchio, nemico troppo ribelle.

Professore, insegna il suo problema con zelo.)

 

Non poteva mancare il greco antico, anche se naturalmente la frase è stata scritta in tempi molto più recenti.

 

Ἀεὶ ὃ Θεὸς ὃ Μέγας γεωμέτρει̃.

Τὸ κύκλου μη̃κοσ ἵνα ὁρίση̣ διαμέτρῳ

παρήγαγεν ἀριθμὸν ἀπέραντον

καὶ ὃν φεὺ οὐδέποτε ὅλον

θνητοὶ θὰ εὔρωσι.

(Sempre il Grande Dio misura.

Per determinare la lunghezza del cerchio col diametro

produsse un numero infinito

e che i mortali, ahimé

non troveranno mai completamente.)

Nikolaos Hatzidakis (1872 – 1942)

 

I Greci usavano le lettere dell’alfabeto per rappresentare i numeri, ma valore numerico della lettera π era 80.

 

Inglese.

 

How I wish I could calculate pi.

(Come desidero poter calcolare pi.)

 

May I have a large container of coffee?

(Posso avere un grande contenitore di caffé?)

 

How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard.

(Quanto ho bisogno di una bevanda, naturalmente alcolica, dopo le pesanti lezioni sulla meccanica quantistica. Tutta la tua geometria, Signor Planck, è piuttosto ostica.)

James Jeans

 

Sir, I bear a rhyme excelling

In mistic force and magic spelling

Celestial sprites elucidate

All my own striving can’t relate.

Or locate they who can cogitate

And so finally terminate. Finis.

(Signore, produco una poesia che eccelle

In forza mistica e magica ortografia

spiriti celesti spiegate

tutti i miei sforzi non possono narrare.

O trovate coloro che possono pensare

E così finalmente terminare. Fine).

 

Italiano, naturalmente.

 

Chi a uomo o donna declamare il numero tondo osa ancor?

 

Che n’ebbe d’utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?

(Isidoro Ferrante)

 

Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione.

(in questo caso “imperfettibile”, 14 lettere, va contato come 1 e 4)

 

Ave o Roma o madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza. (Ettore Siboni, 1935)

 

Spagnolo.

 

Sol y Luna y Mundo proclaman al Eterno Autor del Cosmo.

(Sole e Luna e mondo inneggiano all’Eterno Autore del Cosmo).

(David Lantz)

 

Tedesco.

 

Dir o Held o alter Philosoph du riesen Genie

wie viele Tausende bewundern Geister

himmlisch wie Du und göttlich

noch reiner in Aeonen

wird das uns strahlen

wie im lichten Morgenrot.

(A te o eroe o vecchio filosofo tu grande genio

quante migliaia ammirano spiriti

celestiali come te e divini

ancora più puro diventa ciò negli eoni

e brillerà

come nella luce rada dell’alba.)

 

Mike Keith provò con la prosa, utilizzando i segni di punteggiatura, escluso il punto, per rappresentare lo zero e scrivendo un racconto autoreferente che codifica 403 cifre (le parole di 10 o più lettere codificano due cifre).

For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again, entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all – success. Intently I waited. Soon, roused by thoughts within me, appeared narrative mnemonics relating digits to verbiage! The idea appeared to exist but only in abbreviated fashion-little phrases typically. Pressing on I then resolved, deciding firmly about a sum of decimals to use-likely around four hundred, presuming the computer code soon halted! Pondering these ideas, words appealed to me. But a problem of zeros did exist. Pondering more, solution subsequently appeared. Zero suggests a punctuation element. Very novel! My thoughts were culminated.

No periods, I concluded. All residual marks of punctuation = zeros. First digit expansion answer then came before me. On examining some problems unhappily arose. That imbecilic bug! The printout I possessed showed four nine as foremost decimals. Manifestly troubling. Totally every number looked wrong. Repairing the bug took much effort. A pi mnemonic with letters truly seemed good. Counting of all the letters probably should suffice. Reaching for a record would be helpful. Consequently, I continued, expecting a good final answer from computer. First number slowly displayed on the flat screen-3. Good. Trailing digits apparently were right also. Now my memory scheme must probably be implementable. The technique was chosen, elegant in scheme: by self reference a tale mnemonically helpful was ensured. An able title suddenly existed-“Circle Digits.” Taking pen I began. Words emanated uneasily. I desired more synonyms. Speedily I found my (alongside me) Thesaurus. Rogets is probably an essential in doing this, instantly I decided. I wrote and erased more. The Rogets clearly assisted immensely. My story proceeded (how lovely!) faultlessly. The end, above all, would soon joyfully overtake. So, this memory helper story is incontestably complete. Soon I will locate publisher. There a narrative will I trust immediately appear, producing fame. The end.

(Per un certo tempo stetti a meditare sulle dimensioni del cerchio. Il grande calcolatore principale processava silenziosamente tutto il suo codice macchina. All’interno stava tutta la mia speranza per trovare un’elusiva espansione. Valore: pi. S’attendevano cifre a breve. Nervosamente introdussi una procedura di formattazione. Il calcolatore processò la richiesta. Errore. Di nuovo digitai attentamente, reinserendola. Questa iterazione diede una stampa del tutto priva di errori – successo. Intensamente attesi. Subito, risvegliate da pensieri entro di me, apparvero frasi mnemoniche narrative, che collegano cifre a parole! L’idea sembrava esserci ma solo in modo abbreviato – tipicamente frasi corte. Affrettandomi quindi feci una scelta, decidendo fermamente per una somma di decimali da usare, probabilmente circa quattrocento, presumendo che il calcolatore si sarebbe fermato presto! Meditando su queste idee, le parole mi attraevano. Ma esisteva un prblema di zeri. Pensando ancora, una soluzione in seguito apparve. Lo zero suggerisce un segno di interpunzione. Molto innovativo! I miei pensieri erano giunti a una conclusione. Non punti, conclusi. Tutti i restanti segni di interpunzione = zeri. Una prima risposta all’espansione in cifre mi apparve. A un più attento esame alcuni problemi infelicemente sorsero. Quello stupido errore! La spampa che possedevo mostrava quattro nove come cifre in primo piano. Chiaramente una fonte di problemi. Complessivamente ogni numero sembrava sbagliato. Correggere l’errore richiese un grande sforzo. Un aiuto mnemonico per pi con le lettere sembrava veramente buono. Contare tutte ele lettere dovrebbe bastare. Raggungere un primato sarebbe utile. Di conseguenza, continuai, aspettandomi una buona risposta finale dal calcolatore. Il primo numero comparve lentamente sullo schermo piatto – 3. Bene. Anche le cifre finali apparentemente erano giuste. Ora il mio schema di memoria doveva probabilmente essere implementabile. La tecnica era scelta, elegante come schema: tramite l’autoriferimento era garantito un racconto memonicamente utile. Di colpo ci fu un titolo adatto – “cifre in cerchio.” Prendendo la penna cominciai. Le parole fuiriuscivano con difficoltà. Desideravo più sinonimi. Velocemente trovai il mio repertorio lessicale (accanto a me). Rogets è probabilmente uno strumente essenziale nel fare queste cose, decisi istantaneamente. Scrissi e cancellai ancora. Il Rogets chiatamente era di immenso aiuto. Il mio racconto procedeva (quanto divertente!) senza errori. La fine, soprattutto, avrebbe felicemente raggiunto presto. Così questo racconto di aiuto alla memoria è incontestabilmente completo. Presto troverò un editore. Quanto a questo confido che un’energia narrativa appaia immediatamente, producendo fama. Fine.)

 

Mike Keith compose nel 1995 un poema (o forse dovrei dire un piema), parodiando “The Raven” (il corvo) di Edgar allan Poe, che codifica, mediante le lunghezza delle parole, 740 cifre. In questa composizione lo zero è rappresentato da parole di 10 lettere, cosa che rende più ardua l’impresa, in inglese.

Poe, E. Near a Raven

Midnights so dreary, tired and weary.

Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.

During my rather long nap – the weirdest tap!

An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.

“This”, I whispered quietly, “I ignore”.

...

(Poe, E. Vicino a un corvo

Mezzanotte così tetra, stanca e noiosa.

Silenziosamente riflettendo su volumi esaltanti il fascino ormai del tutto obsoleto.

Durante il mio sonnellino piuttosto lungo – il più bizzarro colpo!

Un sinistro suono vibrante che disturba l’anticamera del mio appartamento.

“Questo”, sussurrai quietamente, “lo ignoro”.)

 

In seguito Keith estese il testo a 3835 cifre (pardon, parole), modificando il titolo in Cadaeic Cadenza e l’inizio in:

One A Poem

A Raven

Midnights so dreary, tired and weary.

...

Il testo, diviso in 14 sezioni, codifica π in vari modi: controllate la prima parola del titolo, attribuendo alle lettere i valori a = 1, b = 2 etc., oppure provate a esaminare la prima lettera di ogni frase della sezione 12.

Titoli e numeri delle sezioni naturalmente fanno parte del codice.

 

Nel 2010 Mike Keith pubblicò addirittura un libro, Not a Wake, che codifica nelle sue 10000 parole altrettante cifre di π. Il libro si divide in 10 sezioni, con contenuti diversi, che vanno dal poemetto al racconto breve, ed è uscito con un prezzo ufficiale di π^2 + π / 2 dollari (circa 11.4404007279), che si riducono a π per la versione elettronica.

 

Per finire, riporto un paio di frasi che aiutano a ricordare approssimazioni razionali di π:

  • Approssimazione razionale per π, codificata tramite una frase Traduzione di un’approssimazione razionale per π, codificata tramite una frase (10 cifre decimali);

  • Approssimazione razionale per π, codificata tramite una frase Approssimazione razionale per π, codificata tramite una frase (12 cifre decimali, da notare che numeratore e denominatore sono numeri primi).

 

Sono stati escogitati altri metodi, più elucubrati e meno efficaci, come la frase in tedesco: “Drei Komma Hus verbrannt und Brennabor bringen die Zahl Pi hervor” (tre virgola Hus bruciato e Brandeburgo conquistato darà π). La decodifica richiede una buona preparazione in storia: il filosofo ceco Johannes Hus (Husinec, allora regno di Boemia, oggi Repubblica Ceca, 1369 – 6/7/1415) fu condannato al rogo dal Concilio di Costanza nel 1415 e nel 927 Enrico I di Sassonia, detto l’Uccellatore, primo re della dinastia degli Ottoni, conquistò il Brandeburgo (inteso come regione, la città fu conquistata nel 928); anteponete “tre virgola”, come richiesto, e concatenate le cifre per avere un’ottima approssimazione.

 

Una curiosità, rilevata da Martin Gardner: un’ottima approssimazione di π è nascosta nell’alfabeto (inglese)! Scriviamo la sequenza delle lettere dell’alfabeto in maiuscolo: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ.

Ora evidenziamo quelle che non sono simmetriche rispetto all’asse verticale:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ.

Se contiamo le lunghezze delle sequenze di lettere evidenziate, a partire da J e considerando ciclico l’alfabeto, abbiamo 31416.

 

Nello sviluppo decimale di π sono note solo tre sequenze di cifre autoreferenti, nel senso che il loro valore è uguale al punto iniziale: 1, 16470 e 44899. in altre parole, la sequenza 16470 inizia alla 16470-esima cifra ecc..

 

Alcune persone hanno imparato a memoria numerose cifre di π e il record viene continuamente migliorato dal 1838, quando un dodicenne olandese recitò le 152 cifre note al tempo, di fronte a un pubblico di illustri scienziati e nobili.

Tra i record notevoli ricordo:

  • Alexander Craig Aitken, con 1000 cifre; quando stabilì il record per la prima volta, il 1/1/1920, erano note 707 cifre, solo 527 delle quali corrette; in seguito Aitken imparò le cifre corrette e portò il record a 1000;

  • Fred Graham, con 1111 cifre, il 15/10/1973;

  • Timothy Pearson, con 1210 cifre, il 21/12/1973;

  • Edward C. Berberich, con 1505 cifre, il 1/6/1974;

  • Simon Plouffe, con 4096 cifre, il 4/12/1975;

  • Michael John Poultney, con 5050 cifre, il 22/3/1977;

  • Jamie Archibald, con 6190 cifre, il 31/5/1978;

  • David Sanker, con 10000 cifre, il 7/10/1978;

  • David Fiore, con 10625 cifre, il 1/4/1979;

  • Creigthon Carvello con 20013 cifre, il 27/6/1980;

  • Rajan Mahadevan, con 31811 cifre, il 5/7/1981;

  • Hideaki Tomoyori, con 40000 cifre, il 10/3/1987;

  • Hiroyuki Goto, con 42195 cifre (recitate in poco più di 9 ore), il 18/2/1995;

  • Dave Turner, con 1250 cifre, il 5/7/2005, recitando le cifre in ordine diretto e inverso;

  • Lu Chao, con 67890 cifre, il 20/11/2005;

  • Rajveer Meena, con 70000 cifre, il 21/3/2015;

  • Suresh Kumar Sharma, con 70030 cifre (recitate in poco più di 17 ore e 14 minuti), il 21/10/2015;

  • Akira Haraguchi, con 83431 cifre, il 21/3/2005.

Attualmente il record è detenuto da Akira Haraguchi, sessantenne ingegnere in pensione, che tra il 3 e il 4 ottobre 2006 recitò le prime 100000 cifre in 19 ore e 28 minuti (con 5 minuti di pausa ogni ora). Il giapponese disse d’aver codificato le cifre di π tramite sillabe, facendo corrispondere più sillabe alla stessa cifra, per poi comporre frasi di senso compiuto, come aiuto nell’impresa. Per motivi a me ignoti i record di Haraguchi, sebbene filmati e stabiliti alla presenza di numerosi testimoni, non sono riconosciuti nel Guinness dei primati.

 

Se vi interessano altri record stravaganti legati alle cifre di π, Mats Bergsten arrivò a recitare “solo” 9778 cifre, però intanto faceva roteare tre palle tra le mani.

Si svolgono anche gare basate sulle prime 10000 cifre divise a gruppi di 5: viene letta una cinquina scelta a caso e i concorrenti devono recitare quella precedente e qualla seguente. Sempre Mats Bergsten è una delle quattro persone che siano state capaci di farlo senza errori per 50 cinquine ed è colui che ha impiegato il tempo minore (17 minuti e 29 secondi).

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
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    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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