Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Schiere di matematici e dilettanti hanno profuso anni di sforzi nel tentativo di arrivare alla quadratura del cerchio, ossia alla costruzione, usando solo riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un cerchio dato. Insieme con la duplicazione del cubo e con la trisezione dell’angolo, sempre usando solo riga e compasso, è uno dei tre problemi matematici più famosi della storia.

Non mi è possibile proporre che un microscopico campionario dei tentativi compiuti; ho scelto alcuni dei più curiosi.

 

Mentre la quadratura del cerchio richiede di fatto di tracciare un segmento di lunghezza Radice quadrata di π, la rettificazione della circonferenza richiede di tracciarne uno lungo π; la soluzione di uno dei problemi comporterebbe automaticamente la soluzione dell’altro, perché è semplice estrarre una radice quadrata tramite riga e compasso. Per questo motivo i due problemi sono sempre stati considerati insieme, ma nell’immaginario collettivo ha fatto più presa il termine “quadratura del cerchio”, forse anche perché si può facilmente immaginare di svolgere una circonferenza costruita con un qualsiasi materiale flessibile, mentre trasformare un cerchio in un quadrato sembra richiedere una complessa sequenza di tagli e cuciture.

 

Di fatto quadrare il cerchio è divenuto un problema impossibile per antonomasia e colui che tenta l’impresa un illuso, se non addirittura uno sciocco.

Non si tratta di un’idea recente: già nel 414 a.C. Aristofane, nella sua commedia Gli uccelli, parlava in termini ironici della quadratura del cerchio, ma non scoraggiò i suoi contemporanei, né schiere di successori, dal tentare.

 

Il problema consiste nel trovare una costruzione di π con riga e compasso, in un numero finito di passi. L’ultima clausola è fondamentale: il sofista Antifone sosteneva che la quadratura del cerchio fosse possibile, costruendo poligoni regolari con un numero crescente di lati, sino a “riempire” un cerchio, dato che i poligoni regolari con certi numeri di lati sono facilmente quadrabili (v. numeri costruibili). Sebbene l’idea sia valida, nel senso che π può essere ottenuto come limite del perimetro di un poligono regolare inscritto in un cerchio, quando il numero di lati tende a infinito, per una costruzione esatta servirebbe un numero infinito di passi. Tutto quello che si può ottenere con un numero finito di passi è un’approssimazione arbitrariamente vicina e in effetti metodi di questo genere sono stati i primi utilizzati per calcoli precisi del valore della costante.

 

Si ritene che il matematico e astronomo greco Enopide di Chio (Chio, Grecia, circa 500 a.C. – circa 420 a.C.) sia stato il primo a definire chiaramente il problema, richiedendo una costruzione sul piano, utilizzando solo riga e compasso. I geometri greci non riuscirono a trovare la sospirata costruzione, ma non erano in grado di apprezzare le motivazioni, squisitamente algebriche, dell’impossibilità.

 

In seguito altri tentarono e molti produssero fantasiose costruzioni, più o meno elaborate, ma tutte inevitabilmente errate.

Infatti, con riga e compasso, fissato un segmento come unità, si possono solo compiere operazioni equivalenti alle quattro operazioni elementari e all’estrazione di radice quadrata, quindi si possono solo tracciare lunghezze che siano esprimibili con una combinazione finita di queste 5 operazioni. Questa semplice affermazione discende dalla geometria algebrica ed era inconcepibile nell’antica Grecia, perché la matematica di allora rifuggiva dall’idea stessa di dimostrazioni di impossibilità, che sarebbero state viste come un fallimento.

 

Anche Dante riconobbe l’inutilità di questi tentativi:

Qual è ’l geomètra che tutto s’affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige,

(Paradiso, canto XXXIII)

 

Ancora Nicola da Cusa (Bernkastel-Kues, Germania, 1401 – Todi, 11/8/1464) affermava la quadrabilità del cerchio, proponendo costruzioni dalle quali si ricava Valore (errato) di Nicola da Cusa per π (valore dimostrato esplicitamente errato da Regiomonano) e Valore (errato) di Nicola da Cusa per π (valore se non altro compatibile con le approssimazioni note in Occidente).

 

Si conoscono moltissime costruzioni approssimate: per esempio, la costruzione del gesuita polacco Kochansky richiede di tracciare, in aggiunta alla circonferenza iniziale, solo due circonferenze, una retta e due segmenti.

Data la circonferenza di centro O e preso il raggio OA come unità, si traccino due circonferenze uguali, una con centro in A, l’altra con centro in una delle intersezioni B tra le prime due. Le due nuove circonferenze si intersecheranno in O e in un punto C; si tracci il segmento OC e si determini la sua intersezione D con la retta r, tangente in A alla circonferenza iniziale. Si prolunghi ora DA fino al punto E, in modo che DE sia il triplo del raggio della circonferenza, e si congiunga E con F, opposto ad A sulla circonferenza: FE è un’ottima approssimazione di π. La figura mostra la costruzione risultante.

 

Costruzione di Kochansky per π

 

La dimostrazione della costruzione non richiede altro che il teorema di Pitagora: se prendiamo A come origine del sistema di coordinate, con la retta r che funge da asse x, la costruzione ci permette di determinare facilmente le coordinate dei vari punti: Coordinate di B, Coordinate di C, Coordinate di D, Coordinate di E, F = (0, 2) e quindi Approssimazione di Kochansky per π.

 

Qualsiasi approssimazione razionale di π ci fornisce altre costruzioni, alcune tanto buone da rendere l’errore non rilevabile con i migliori strumenti, ma non perfette, almeno teoricamente. Tuttavia fino al XIX secolo moltissimi tentarono l’impresa, spesso senza basi matematiche adeguate, finendo spesso per credere d’avere trovato la soluzione. Dopotutto non era chiaro quali rapporti fossero numeri costruibili con riga e compasso e il concetto di numeri trascendenti era ancora lontano; inoltre erano note da secoli quadrature per altre curve, apparentemente meno trattabili, come la parabola e rettificazioni di curve come la cicloide. Non stupisce quindi il proliferare di pubblicazioni sull’argomento, proposte di costruzioni e addirittura libri, come Opus geometricorum quadraturae circuli et sectionum coni (Opera delle geometrie della quadratura del cerchio e delle sezioni del cono) del fiammingo Gregorio San Vincenzo (Bruges, Belgio, 8/9/1584 – Gand, Belgio, 27/1/1667), da parte di schiere di entusiasti.

 

Legioni di aspiranti alla gloria, con vari gradi di preparazione matematica, proposero numerosissime costruzioni, spesso dedicando anni alla ricerca. Spicca fra tutti il filosofo inglese Thomas Hobbes (Malmesbury, Inghilterra, 5/4/1588 – 4/12/1679), che dedicò all’impresa buona parte dei suoi ultimi 27 anni di vita, pubblicando una dozzina di metodi differenti (il primo dei quali riproponeva la vecchia approssimazione babilonese Approssimazione babilonese per π) e credendo fermamente che fossero tutti corretti, nonostante le approssimazioni risultanti fossero diverse e semplici calcoli avrebbero potuto dimostrare che vi erano piccole differenze tra i segmenti tracciati con i vari metodi.

John Wallis (Ashford, Inghilterra, 23/11/1616 – Oxford, Inghilterra, 28/10/1703), il miglior matematico inglese dell’epoca, dovette divertirsi non poco a trovare e rendere pubblici gli errori nei lavori di Hobbes, del quale detestava le idee religiose e politiche. Si assisté così alla pubblicazioni di libri, libelli e articoli nei quali uno demoliva le idee dell’altro (o cercava di farlo), con gustosi titoli come Six Lessons to the Professors of Mathematics (Sei lezioni ai professori di matematica) di Hobbes, cui Wallis rispose con Due Correction for Mr. Hobbes in School Discipline for not saying his Lessons right (Debita reprimenda in disciplina scolastica al Sig. Hobbes per non aver esposto correttamente le sue lezioni) e così via sino alla morte di Hobbes.

 

Altri credettero di ricavare denaro dall’impresa e qualcuno riuscì anche a perderlo: nel 1728 un tal Malthulon in Francia produsse una delle tante quadrature, offrendo la notevole somma di 1000 corone a chi avesse trovato un errore nella sua “dimostrazione”. Poco tempo dopo il matematico Nicoli trovò l’errore, incassò il premio e lo lasciò a Lione, dove infine fu devoluto in beneficenza.

 

A riprova dell’abbondanza dei tentativi, l’Accademia delle scienze di Francia, che nel XVII secolo aveva incautamente offerto un premio per l’impresa, venendo subissata da una valanga di costruzioni spesso assurde, stabilì nel 1775 che non avrebbe più preso in esame presunte quadrature del cerchio, seguita poco dopo dalla Royal Society di Londra.

 

Altri seguirono la strada opposta: Charles Lutwidge Dogson (Daresbury, Inghilterra, 27/1/1832 – Guildford, Inghilterra, 14/1/1898), più noto come “Lewis Carrol”, autore di Alice nel paese delle meraviglie, dedicò molto tempo a demolire presunte quadrature, anche se in alcuni casi dovette ammettere l’impossibilità di convincere i suoi interlocutori, che sembravano incrollabilmente convinti delle loro assurde teorie (fino a sostenere valori grossolanamente errati di π, come 3.2).

 

Qualcuno tentò addirittura di produrre un cerchio e un quadrato di uguale peso, utilizzando i materiali più disparati, per poi misurare il diametro dell’uno e il lato dell’altro e trovare così il valore di π per via sperimentale. Per esempio, William Baddeley descrisse in “Mechanical Quadrature of the Circle” (Quadratura meccanica del cerchio) sul London Mechanic’s Magazine, agosto 1833 un suo “accurato” procedimento con lamierino d’ottone, che gli permise di “appurare” che π è Valore (errato) di William Baddeley per π; l’errore di circa 3.42% ci indica che non era neppure un valido sperimentatore.

 

Tre anni dopo il parigino LaComme, ponendosi il problema della pavimentazione di un pozzo cilindrico, giunse alla conclusione che Valore (errato) di LaComme per π, non è chiaro se per via geometrica o pesando lastre di pietra; fatto sta che pubblicò i suoi risultati e ricevette premi e onorificenze da varie società, nonostante all’epoca fossero note centinaia di cifre decimali di π.

 

Il fascino di π si dimostrò irresistibile per molti, sia matematici esperti che non, ma mentre i primi dimostrarono teoremi che ebbero spesso vasta applicazione anche in altri campi, gli altri, talvolta addirittura praticamente digiuni delle più elementari nozioni di matematica e geometria, si lanciarono in fantasiose costruzioni, finendo invariabilmente col prendersela contro “inetti professori” che non prestavano loro ascolto. In omaggio alla regola che uno sciocco ne trova sempre molti altri disposti ad ascoltarlo, pubblicarono e vendettero libri sulle loro costruzioni.

Tipico il caso di John A. Parker, che pubblicò un libro (Quadrature of the Circle, John Wiley & Sons, New York, 1874), nel quale “dimostrava” che il valore corretto è Valore (errato) di John A. Parker per π, asserendo che i suoi predecessori sbagliavano il calcolo perché misuravano π sulla circonferenza, invece che al suo interno (come se la linea avesse spessore finito), con ciò commettendo un errore a partire dalla “sesta cifra decimale”, ossia dove il suo valore differisce da quello corretto.

 

Altro caso notevole fu Carl Theodore Heisel, che nel 1931 in Behold! The Grand Problem, The Circle Squared Beyond Refutation, No Longer Unsolved, (Guardate! Il grande problema, il cerchio quadrato oltre ogni confutazione, non più irrisolto), S.J. Monk, Cleveland, 1931, ripropose come esatto il valore Valore (errato) di Carl Theodore Heisel per π, già dato come approssimato da Ahmes, 4 millenni prima. Tra altri vaneggiamenti, merita un cenno la sua “dimostrazione”: usando il “suo” valore calcola circonferenza e area di cerchi con raggio da 1 a 9, ottenendo valori “consistenti”, che “dimostrano” la validità della sua scoperta, destinata “all’immortalità, perché assolutamente inconfutabile” etc.. Probabilmente arrivò alla fine dei suoi giorni senza rendersi conto che se avesse usato un qualsiasi altro numero, come il suo numero di scarpe, avrebbe comunque ottenuto una tabella di valori “consistenti”, cioè con proporzionalità diretta tra raggio e circonferenza.

 

Lentamente si fece strada l’idea che i tre classici problemi dell'antichità fossero insolubili, ma passarono oltre due millenni tra quando furono proposti e quando venne finalmente dimostrata la loro insolubilità. Nel caso della quadratura del cerchio, la dimostrazione è una conseguenza della trascendenza di π e quindi di uno dei più importanti risultati della matematica del XIX secolo. L’insolubilità degli altri due problemi deriva invece dall’impossibilità di estrarre radici cubiche con riga e compasso e fu dimostrata molto prima.

 

Ancora nel XX secolo furono in parecchi a proporre fantasiose quadrature e addirittura nuovi valori per π.

 

Va notato che già nel 335 a.C. Dinostrato (390 a.C. – 320 a.C.) aveva dimostrato che il cerchio si può quadrare, se si suppone di utilizzare, oltre a riga e compasso, un’opportuna curva, detta appunto quadratrice, introdotta da Ippia di Elide nel V secolo a.C.. La curva, detta anche trisettrice, perché si può utilizzare per trisecare gli angoli, fu la prima curva non definibile secondo i canoni classici, con riga e compasso. Le coniche (parabole, ellisse e iperbole) erano già note, ma si possono ottenere come sezioni di un cono con un piano, quindi, in un certo senso, si possono “tracciare” nello spazio con un “compasso” capace di tracciare superfici.

Il metodo più semplice per descrivere la quadratrice è il seguente: immaginate che un segmento AC, perpendicolare a un diametro AB di una semicirconferenza, si muova a velocità uniforme, restando perpendicolare ad AB, mentre un raggio OA ruota, anch’esso a velocità uniforme, intorno al centro O, finendo su OB: il punto di intersezione del segmento e del raggio descrive la quadratrice di Ippia, come mostra la figura.

 

Costruzione della quadratrice di Ippia

 

La quadratrice è la curva risultante ADB; in particolare se AO = 1, OD = 2 / π.

 

Per contro esistono alcune curve, come le lunule di Ippocrate, che, pur essendo delimitate da archi di cerchio, hanno un’area esprimibile senza utilizzare π e quindi sono facilmente quadrabili.

 

Il primo tentativo di dimostrazione di impossibilità risale a James Gregory nel 1667 in Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (la quadratura corretta di cerchio e iperbole). La dimostrazione era errata, ma fu un primo, importante passo.

La dimostrazione definitiva dell’impossibilità si ebbe solo nel 1882, con la prova di Lindemann che π è trascendente.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

  • Bailey, D.H.;  Borwein, Peter Benjamin;  Plouffe, Simon;  "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" in Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pag. 903 – 913.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Nahin, Paul J.;  Duelling Idiots and Other Probability Puzzles, Princeton, Princeton University Press, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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