Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Nella storia sono state proposte varie approssimazioni per π, molte delle quali assolutamente pessime, soprattutto in relazione all’epoca nella quale furono proposte.

 

La palma per la peggior approssimazione per π va a Michael Psellus (Costantinopoli, oggi Istanbul, 1018 – 1078), seguito dalla Bibbia, alla pari col Talmud, e dai deputati dell’Indiana, questi ultimi colpevoli di riproporre approssimazioni scadenti dopo una trentina di secoli, sia pure su istigazione di un’altra persona.

 

Andiamo con ordine: il filosofo bizantino sosteneva che l’area del cerchio è la media geometrica tra le aree dei quadrati inscritto e circoscritto. Questo corrisponde a prendere per π il valore Approssimazione di Psellus per π: neppure la prima cifra è corretta e questo è piuttosto disdicevole, in un’epoca nella quale erano note da secoli approssimazioni con almeno 4 cifre decimali corrette.

 

Nella Bibbia si trova un passo (Re, 7:23), datato approssimativamente al 950 a.C., nel quale viene descritto un bacino perfettamente rotondo, col diametro di 10 cubiti e la circonferenza di 30, che implica un valore 3 per π e rivela una certa ignoranza dell’Autore, visto che Egizi e Babilonesi disponevano da un millennio di stime migliori.

Non sorprendentemente, sono stati in molti a tentare di rimediare in qualche modo, con ipotesi fantasiose, quale quella di considerare la circonferenza riferita all’interno del bacino e il diametro all’esterno: lo spessore della parete del bacino può giustificare la notevole discrepanza. Il primo a proporre questa interpretazione fu il rabbino Nehemiah (autore del più antico testo ebraico di geometria noto), nel 150 circa.

Un buon tentativo, non c’è che dire, ma dovendo misurare la circonferenza di un bacino con una corda, come espressamente descritto nel testo, cerchereste di farla aderire alla parete interna, o la avvolgereste intorno a quella esterna?

Inoltre per far quadrare i conti il bacino dovrebbe avere uno spessore di circa 0.2253 cubiti, ossia, utilizzando il cubito ebraico pari a circa 44.45 cm, circa 10.0169 cm. Però il cubito era diviso in 6 palmi, di circa 7.4084 cm ciascuno e il testo indica chiaramente uno spessore di un palmo per il bacino. Del cubito ebraico esistevano altre due versioni: l’una di circa 51,8 cm, divisa in 7 palmi, l’altra di 38 cm, ma nessuna delle due dà lo spessore richiesto.

Non bisogna trascurare anche il fatto che un bacino con quello spessore, alto 5 cubiti, come dice il testo, peserebbe, se di forma semisferica, dalle 22 alle 26 tonnellate a seconda della lega di bronzo impiegata e sarebbe stato inutilmente pesante e massiccio, per un oggetto puramente decorativo.

 

Per dare un’idea del tipo di specchi sui quali si arrampicano i commentatori, riferisco che un’altra fantasiosa “correzione” si basa sulla parola utilizzata per indicare “misurare”, che si scrive qwh, ma si pronuncia come se fosse qw. Dato che in ebraico, come in greco antico, ogni lettera rappresenta un numero, ogni parola o combinazione di lettere dell’alfabeto può rappresentare anche un numero; il rapporto tra i due valori è Approssimazione per π /3, che moltiplicato (chissà mai perché) per 3 darebbe una buona approssimazione di π (5 cifre decimali corrette).

La stessa pessima approssimazione ricompare però in Cronache 4:2 e trovare un rimedio appare arduo.

 

Nel Talmud, databile intorno al 200, si ritrova lo stesso valore, probabilmente ripreso dalla Bibbia, quando varie approssimazioni molto migliori erano ormai note.

 

Nel 1966 Martin Gardner sfruttò la Bibbia per una notevole previsione: basandosi sul fatto che nel terzo libro, capitolo 14, verso 16, ossia nel verso indicato come 3:14:16, compare il numero magico 7 e che la settima cifra è 5, il suo personaggio preferito, il Dr. Matrix, previde che il valore della milionesima cifra decimale di π sia 5. Otto anni più tardi la previsione fu sorprendentemente confermata da J. Guilloud.

Forse la Bibbia è più precisa di quanto ritenuto? Gardner sapeva benissimo che la lunghezza delle parole nella traduzione inglese non aveva alcuna relazione con quella del testo ebraico, ma intendeva fare ai suoi lettori uno scherzo che, per un capriccio del destino riuscì sin troppo bene. O forse era tutto predeterminato da millenni?

 

M.D. Stern nel 1895 suppose addirittura che un valore molto più preciso è codificato nel testo, leggendo due volte in modi differenti una stessa parola e interpretando i due numeri ottenuti come numeratore e denominatore di una frazione.

 

La vicenda più nota sulle cattive approssimazioni di π è quella della Camera dei Rappresentanti dell’Indiana, che nel 1897 approvò una risoluzione in base alla quale il suo valore era de jure 3.

Un medico, Edwin J. Goodwin Jr. (1828 – 1902), matematico dilettante (e incompetente), credette nel 1894 d’aver quadrato il cerchio e offrì questo suo contributo gratuitamente allo stato dell’Indiana, purché fosse approvato come legge; non è chiaro se intendesse chiedere al resto del mondo il pagamento dei diritti per usufruire della scoperta.

Goodwin si diede molto da fare per pubblicare le sue scoperte in una paginetta alquanto sconclusionata, nella quale “dimostrava” i suoi valori semplicemente mostrando che un paio di altri sono errati, e affermava anche che il rapporto tra diagonale e lato di un quadrato è Approssimazione di Goodwin per la radice quadrata di 2, valore facilmente confutabile tramite il teorema di Pitagora.

Esaminando le sue affermazioni si possono ricavare almeno una mezza dozzina di differenti valori per π, da Approssimazione di Goodwin per π a 4; David Singmaster con un’accurata analisi ne contò ben 7 (“The legal value of pi”, in Mathematical Intelligencer, vol. 7, 1985, pag. 69 – 72). Sembra, infatti, che Goodwin non si rendesse conto che i metodi di calcolo che proponeva erano addirittura in contraddizione tra loro e portavano a valori diversi e considerava i rapporti tra area e quadrato del raggio e tra lunghezza della circonferenza e diametro come legati a costanti diverse. Affermava tra l’altro che l’area del cerchio è uguale a quella di un quadrato avente per lato un quarto della circonferenza. Dato che il valore più plausibile per π che si ricava dal suo testo è Approssimazione di Goodwin per π, l’area del cerchio risulterebbe Approssimazione di Goodwin per π per il quadrato del raggio: un valore talmente basso, che basterebbe un buon modello di cartoncino per scoprire l’errore.

In un modo o nell’altro riuscì a farsi ascoltare da uno dei rappresentanti, Taylor I. Record, convincendolo a presentare il 18/1/1897 la proposta all’assemblea, che, forse con una punta di ironia, la passò all’esame della commissione dei canali, nota anche come commissione delle paludi, nonostante uno dei membri avesse proposto di sottoporla all’attenzione della commissione delle finanze, immaginando forse che qualche membro di questa avesse una qualche competenze in matematica e geometria. Se questa era una manovra volta a insabbiare la pratica, non sortì l’effetto voluto: la commissione, infatti, dirottò la proposta al comitato dell’istruzione, che diede invece chiara prova della sua competenza in materia, restituendola all’assemblea il 2/2/1897, con la raccomandazione di approvarla!

Del resto Record aveva accompagnato la proposta con una presentazione di Goodwin nella quale affermava che la sua soluzione dei tre classici problemi della quadratura del cerchio, duplicazione del cubo e trisezione dell’angolo, erano già state accettate come contributi alla Scienza. In effetti Goodwin era riuscito a far pubblicare sull’American Mathemathical Monthly la sua quadratura (vol. 1, n. 7, 1894, pag. 246 – 248), la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo (vol. 2, n. 7, 1895, pag. 337), ma la rivista dichiarava in una nota di “pubblicare su richiesta dell’Autore”, non assumendo alcuna responsabilità sul contenuto (va detto che una rivista scientifica seria non avrebbe comunque dovuto farlo).

Nel frattempo i giornali locali avevano riportato la notizia della “scoperta”, arrivando a definire Goodwin “matematico di fama” (Indianapolis Sentinel, 20/1/1897), con una sola voce contraria: il Der tägliche Telegraph, quotidano pubblicato a Indianapolis, però in lingua tedesca e quindi verosimilmente non di larga diffusione.

Il 5/2/1897 la Camera dei Rappresentanti approvò la risoluzione con una votazione che è indicativa del livello culturale medio dei politici (che non sembra in generale migliorato da allora): il risultato fu infatti 67 a 0! Inoltre la Camera approvò (con 72 voti a 0) una speciale deroga, per permettere che le due letture obbligatorie avvenissero nello stesso giorno e accelerare l’iter di approvazione.

Sei giorni dopo la proposta arrivò al Senato, dove fu affidata, per ragioni ignote, al comitato per la moderazione. Quali che fossero i compiti di questo comitato, non si dimostrò superiore all’altro, perché raccomandò l’approvazione della legge, rimandandola al senato, con ammirevole rapidità, il giorno dopo.

L’approvazione della Camera aveva intanto causato la pubblicazione del testo integrale della proposta sui giornali locali e la notizia valicò i confini dello stato: finalmente qualche giornalista capì l’assurdità o si decise a chiedere un’opinione autorevole (sarebbe bastata quella di un ragazzino che avesse studiato seriamente la matematica delle medie...) e il risultato furono alcuni brevi articoli che deridevano apertamente l’iniziativa, comparsi a Chicago e New York.

Solo uno spiacevole incidente privò il mondo di un indimenticabile motivo di ilarità e salvò i cittadini dell’Indiana dalle possibili conseguenze, difficili da immaginare, di una delle leggi più insulse di tutti i tempi (ed è un titolo tuttora accanitamente disputato): sulla scena comparve casualmente il professor Clarence Abiathar Waldo, che, come membro del dipartimento di matematica dell’Università di Purdue, decise di assistere a una seduta del Senato, nella quale dovevano essere discussi gli stanziamenti per tale Università.

Con sua sorpresa, si trovò ad ascoltare il dibattito del 5/2/1897, durante la quale un ex insegnante presentò la questione in questi termini: “Se approviamo questa legge, che fissa il nuovo e corretto valore di π, l’Autore offre allo Stato l’uso gratuito della scoperta e la pubblicazione, sempre gratuita, sui nostri libri di testo, mentre chiunque altro dovrà pagare una royalty”.

Con questo l’oratore rivelava che la sua ignoranza in matematica era superata da quella in diritto, perché nessuna legislazione ha mai considerato brevettabili o assoggettabili a diritti d’autore le dimostrazioni di teoremi e i valori di costanti matematiche.

Waldo, inorridito, riuscì a parlare con i legislatori prima che la votazione finale avesse luogo, anche se non riuscì a convincerli completamente: la parola “gratuito” evidentemente ha sempre esercitato un’attrazione fortissima sui politici. Al momento del dibattito vi furono battute e qualcuno suggerì che il contenuto della proposta non era soggetto a legislazione, ma nessuno ne contestò effettivamente il contenuto da un punto di vista tecnico.

Quando la proposta fu infine discussa in Senato, il 12/2/1897, le parole di Waldo e la notizia degli articoli sui giornali al di fuori dello stato fecero sì che l’assemblea decidesse di rimandare a data da destinarsi una discussione più approfondita della legge; non risulta che sia stata messa in agenda da allora..

 

Possiamo attribuire parte della colpa alla scadente preparazione matematica degli studenti statunitensi di una volta? Forse: H.W. Eves ci racconta che l’unica tesi di matematica discussa prima del 1700 in quelli che sarebbero divenuti Stati Uniti (Harvard 1693) aveva per titolo “E’ possibile la quadratura del cerchio?” e dava alla domanda una risposta affermativa! Nel 1718 una tesi verteva invece sulla dimostrazione che la superficie della sfera è il quadruplo dell’area di un cerchio massimo, come ben sapevano i Greci oltre due millenni prima.

 

La storia ha una curiosa appendice: nel 1998 apparve su Internet un articolo che affermava che l’Alabama aveva approvato una legge per far utilizzare per π il valore “biblico” 3. La notizia era stata messa in circolazione da Mark Boslough, un fisico del Nuovo Messico, come satira dei tentativi di sostituire nell’insegnamento la “teoria” creazionistica a quella dell’evoluzione. Una rivista la pubblicò, beninteso sul numero di Aprile, come scherzo, e i deputati dell’Alabama ricevettero numerose chiamate e lettere da cittadini indignati.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

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    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

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    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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