Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Nei secoli molti si sono ingegnati a trovare approssimazioni per π, dapprima per necessità, poi per diletto o caccia di un record o di un’approssimazione particolarmente elegante.

In tempi recenti, essendo note ormai miliardi di cifre, la “gara” si è orientata verso la ricerca di ottime approssimazioni, usando numeri piccoli e il minimo numero possibile di operazioni e funzioni elementari.

 

La seguente tabella riporta, in ordine di precisione crescente, una raccolta delle approssimazioni più note; alcune sono state comunemente usate, almeno in certi periodi e in alcune parti del mondo, mentre molte altre sono semplici curiosità.

Anno

Autore

Cifre corrette

Valore

Circa 600 a.C.

India

1

Approssimazione indiana per π

Circa 1900 a.C.

Babilonesi

2

Approssimazione babilonese per π

1650 a.C.

Ahmes

2

Approssimazione di Ahmes per π

IX a.C.

Yajnavlkya (India)

2

Approssimazione di Yajnavlkya per π

Circa 150 a.C.

India

2

Approssimazione indiana per π

Circa 1 d.C.

Cina

2

3.1547

III secolo

Cina

2

Approssimazione cinese per π

1464

Nicola da Cusa

2

Approssimazione di Nicola da Cusa per π

 

 

2

Approssimazione per π

Circa 260 a.C.

Archimede

3

Approssimazione di Archimede per π

263

Liu Hui

3

Approssimazione di Liu Hui per π

830

Al’Khwarizmi

3

Approssimazione di Al’Khwarizmi per π

1580

Tycho Brahe

3

Approssimazione di Tycho Brahe per π

Circa 1600

Zhu Zaiyu

3

Approssimazione di Zhu Zaiyu per π

1868

Grosvenor

3

Approssimazione di Grosvenor per π

 

 

3

Approssimazione per π

 

G. von Hippel

3

Approssimazione di von Hippel per π

 

G. von Hippel

3

Approssimazione di von Hippel per π

2002

S. Mircea-Mugurel

3

Approssimazione di Mircea-Mugurel per π

2008

A. Povolotsky

3

Approssimazione di Povolotsky per π

263

Liu Hui

4

3.1416

499

Āryabhaţa

4

3.1416

830

Al’Khwarizmi

4

3.1416

1220

Fibonacci

4

3.1418

Circa 1300

Dante Alighieri

4

Approssimazione di Dante Alighieri per π

 

Lonc

4

Approssimazione di Lonc per π

1914

Ramanujan

4

Approssimazione di Ramanujan per π

1914

Ramanujan

4

Approssimazione di Ramanujan per π

1988

Castellanos

4

Approssimazione di Castellanos per π

2008

M. Schneider

4

Approssimazione di Schneider per π

 

 

4

Approssimazione per π

2008

M. Schneider

4

Approssimazione di Schneider per π

 

 

4

Approssimazione per π

 

Stoschek

4

Approssimazione di Stoschek per π

 

 

4

Approssimazione per π

2016

M. Fiorentini

4

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

4

Approssimazione di Fiorentini per π

1685

Kochansky

5

Approssimazione di Kochansky per π

1914

Ramanujan

5

Approssimazione di Ramanujan per π

1988

Castellanos

5

Approssimazione di Castellanos per π

1988

Castellanos

5

Approssimazione di Castellanos per π

2006

M. Joseph

5

Approssimazione di Joseph per π

 

Plouffe

5

Approssimazione di Plouffe per π

 

 

5

Approssimazione per π

 

 

5

Approssimazione per π

1988

Castellanos

6

Approssimazione di Castellanos per π

 

Plouffe

6

Approssimazione di Plouffe per π

 

 

6

Approssimazione per π

 

 

6

Approssimazione per π

   

6

Approssimazione per π

2001

Francesco Franco

6

Approssimazione di Francesco Franco per π

2016

M. Fiorentini

6

Approssimazione di Fiorentini per π

Circa 480

Tsu Ch’ung-chih

7

Approssimazione di Tsu Ch’ung-chih per π

1836

Specht

7

Approssimazione di Specht per π

1914

Ramanujan

7

Approssimazione di Ramanujan per π

1988

Castellanos

7

Approssimazione di Castellanos per π

1988

Castellanos

7

Approssimazione di Castellanos per π

2001

Francesco Franco

7

Approssimazione di Francesco Franco per π

2001

Francesco Franco

7

Approssimazione di Francesco Franco per π

2002

Ed Pegg Jr.

7

Approssimazione di Ed Pegg per π

2003

Bailey, Borwein e Plouffe

7

Approssimazione di Bailey, Borwein e Plouffe per π

2016

M. Fiorentini

7

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

7

Approssimazione di Fiorentini per π

 

K. Rashid

8

Approssimazione di Rashid per π

 

Plouffe

8

Approssimazione di Plouffe per π

 

 

8

Approssimazione per π

 

 

8

Approssimazione per π

1988

Castellanos

8

Approssimazione di Castellanos per π

2001

Francesco Franco

8

Approssimazione di Francesco Franco per π

2001

Francesco Franco

8

Approssimazione di Francesco Franco per π

2001

Francesco Franco

8

Approssimazione di Francesco Franco per π

2016

M. Fiorentini

8

Approssimazione di Fiorentini per π

1914

Ramanujan

9

Approssimazione di Ramanujan per π

 

 

9

Approssimazione per π

1988

Castellanos

9

Approssimazione di Castellanos per π

2016

Francesco Franco

9

Approssimazione di Francesco Franco per π

 

Eulero

10

Approssimazione di Eulero per π

1914

Ramanujan

10

Approssimazione di Ramanujan per π

1988

Castellanos

10

Approssimazione di Castellanos per π

2002

Ed Pegg Jr.

10

Approssimazione di Ed Pegg per π

2003

Plouffe

10

Approssimazione di Plouffe per π

2003

Bailey, Borwein e Plouffe

10

Approssimazione di Bailey, Borwein e Plouffe per π

 

de Jerphanion

10

Approssimazione di de Jerphanion per π

 

 

10

Approssimazione per π

   

10

Approssimazione per π

 

David W. Hoffman

10

Approssimazione di David W. Hoffman per π, una delle pochissime occorrenze del googol in matematica

2016

M. Fiorentini

10

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

10

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

10

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

10

Approssimazione di Fiorentini per π

2003

Bailey, Borwein e Plouffe

11

Approssimazione di Bailey, Borwein e Plouffe per π

2003

Plouffe

11

Approssimazione di Plouffe per π

 

J. Iuliano

11

Approssimazione di J. Iuliano per π

   

11

Approssimazione per π

2016

M. Fiorentini

11

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

M. Fiorentini

11

Approssimazione di Fiorentini per π

1988

Castellanos

12

Approssimazione di Castellanos per π

1988

Castellanos

12

Approssimazione di Castellanos per π

 

 

12

Approssimazione per π

2003

Bailey, Borwein e Plouffe

12

Approssimazione di Bailey, Borwein e Plouffe per π

2016

M. Fiorentini

12

Approssimazione di Fiorentini per π

 

P. Galliani

13

Approssimazione di P. Galliani per π

2016

M. Fiorentini

13

Approssimazione di Fiorentini per π

1988

Castellanos

14

Approssimazione di Castellanos per π

2016

M. Fiorentini

14

Approssimazione di Fiorentini per π

2016

Francesco Franco

14

Approssimazione di Francesco Franco per π

1914

Ramanujan

15

Approssimazione di Ramanujan per π

1914

Ramanujan

16

Approssimazione di Ramanujan per π

1914

Ramanujan

16

Approssimazione di Ramanujan per π

 

P. Galliani

16

Approssimazione di P. Galliani per π

 

 

16

Approssimazione per π

 

 

18

Approssimazione per π

1914

Ramanujan

19

Approssimazione di Ramanujan per π

2016

M. Fiorentini

21

Approssimazione di Fiorentini per π

1914

Ramanujan

24

Approssimazione di Ramanujan per π

2003

Bailey, Borwein e Plouffe

24

Approssimazione di Bailey, Borwein e Plouffe per π

1766

Arima (Giappone)

30

Approssimazione di Arima per π

2016

M. Fiorentini

30

Approssimazione di Fiorentini per π

 

 

31

Approssimazione per π

1914

Ramanujan

32

Approssimazione di Ramanujan per π

 

 

44

Approssimazione per π

 

 

53

Approssimazione per π

1984

Newman e Shanks

82

Approssimazione di Newman e Shanks per π, dove: Formula per a, Formula per bFormula per c e Formula per d

 

Le due approssimazioni più antiche documentate risalgono a una tavoletta di creta babilonese, databile tra il 1900 e il 1600 a.C. e al papiro di Rhind, databile con maggior precisione intorno al 1650 a.C.; entrambe si rifanno con ogni probabilità a testi ancora più antichi non pervenutici, quindi quale sia la più antica approssimazione è una questione non completamente risolta.

 

Le approssimazioni di Ramanujan sono solo un piccolo esempio di quelle che il matematico indiano trovò nel corso dei suoi studi sulle equazioni modulari.

 

E’ noto che Espressione vicina a un intero è molto vicino a un intero, se n è uno dei numeri di Heegner; invertendo la relazione, si ottengono eccellenti approssimazioni della forma Approssimazione per π, la migliore delle quali, per n = 163 ci dà 31 cifre di precisione.

 

Molto curiosa, ma totalmente inutile, l’approssimazione Approssimazione di Borwein, Borwein e Bailey per π (Borwein, Borwein e Bailey), che dà 3 cifre decimali corrette, ma richiede di conoscere già… il valore di π!

 

Tra le approssimazioni razionali, oltre a quelle ottenibili con metodi classici, come troncando lo sviluppo in frazione continua, segnalo le seguenti, che utilizzano solo numeri primi e sono le più semplici della categoria, a parità di cifre corrette:

  • Approssimazione di π come rapporto tra numeri primi, 9 cifre corrette;
  • Approssimazione di π come rapporto tra numeri primi, 10 cifre corrette;
  • Approssimazione di π come rapporto tra numeri primi, 12 cifre corrette;
  • Approssimazione di π come rapporto tra numeri primi, 4 cifre di π2 corrette.

 

L’approssimazione Approssimazione di π come rapporto tra numeri palindromi dà solo 5 cifre corrette, ma è notevole perché numeratore e denominatore sono numeri palindromi relativamente piccoli.

 

Recentemente sono state trovate ottime approssimazioni pandigitali, utilizzando esattamente una volta tutte le 10 cifre:

  • Approssimazione pandigitale di S. Irvine per π (S. Irvine, 9 cifre corrette) ricavabile dall’ottima approssimazione di Ramanujan Approssimazione di Ramanujan per π;
  • Approssimazione pandigitale di Francesco Franco per π (Francesco Franco, 2016, 9 cifre corrette);
  • Approssimazione pandigitale di Ed Pegg per π (Ed Pegg Jr., 10 cifre corrette);
  • Approssimazione pandigitale di B. Astle per π (B. Astle, 2004, 10 cifre corrette);
  • Approssimazione pandigitale di B. Ziv per π (B. Ziv, 2004, 11 cifre corrette), che trovo poco elegante per quei numeri scritti senza lo zero prima del punto decimale;
  • Approssimazione pandigitale di G.W. Barbosa per π (G.W. Barbosa, 18 cifre corrette).

 

Tra le curiosità segnalo la seguente approssimazione trovata da F. Voormanns nel 2003: Approssimazione di F. Voormanns per π, dove s è il numero di giorni in una settimana e a il numero di giorni in un anno; usando 365 come lunghezza dell’anno, la formula dà circa 3.1415926539, ossia 10 cifre corrette, che si riducono a 6 se si usa la lunghezza dell’anno gregoriano (365.2425) o quella dell’anno tropico (circa 365.242189670).

 

Segnalo infine Approssimazione di G. Stanley Smith per sqrt(π) come approssimazione per Radice quadrata di π (G. Stanley Smith, 5 cifre corrette) e Approssimazione di Castellanos per π^(1 / 4) per Radice quarta di π (Castellanos, 6 cifre corrette); l’aspetto notevole dell’ultima approssimazione sta nell’uso delle prime 7 cifre di π per costruirla.

 

Ogni frazione che approssimi π, non può essere “troppo” precisa: un teorema, infatti, afferma che se si approssima π con una frazione p / q, allora Limite inferiore per il valore assoluto della differenza tra π e un'approssimazione razionale. Peraltro l’approssimazione non può neppure essere troppo scadente, perché, essendo π trascendente, si possono trovare infinite frazioni tali che Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra π e un'approssimazione razionale.

 

Alle voci espansione di Engelespansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di π e costanti correlate.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
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  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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