Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Nel 1995 David H. Bailey, Peter Benjamin Borwein e Simon Plouffe stupirono il mondo della matematica con un algoritmo che per la prima volta permetteva di calcolare una specifica cifra di π in base 2, senza calcolare le precedenti.

L’algoritmo è basato sulla serie Serie per il calcolo di π, che si ricava prima dimostrando che π come somma di integrali, poi trasformando gli integrali in serie: Trasformazione degli integrali in serie. Sembrano due esercizi da esame universitario di analisi e in effetti potrebbero esserlo, ma il primo passo fu compiuto da una macchina: fu infatti il programma PSLQ, capace di cercare relazioni lineari tra svariate costanti, a trovare la relazione tra π e gli integrali.

L’algoritmo consente di calcolare l’n-esimo bit di π, in un tempo proporzionale a nlog3n e richiede una quantità di memoria proporzionale a una potenza del logaritmo di n. Il trucco sta nel calcolare solo alcune cifre, con precisione limitata, sfruttando la periodicità delle frazioni che compongono la serie, se rappresentate in base 2, poi sommare i termini, ma solo per relativamente poche cifre a partire da quella desiderata, ignorando le altre.

Prima della scoperta di Bailey, Borwein e Plouffe gli esperti dubitavano che algoritmi del genere potessero esistere, non solo per π, ma in generale per qualsiasi costante, salvo i casi eccezionali di costanti per le quali le cifre si susseguono con regolarità.

Molti sperano anche che l’algoritmo offra una via d’attacco alla dimostrazione che π è normale, almeno in alcune basi.

 

Una formula del tipo Serie di potenze con coeficienti polinomiali o Serie di potenze a segni alternati con coefficienti polinomiali, con P(n) e Q(n) polinomi qualsiasi in n, permette in linea di principio il calcolo efficiente di singole cifre in base b.

 

Altri scoprirono quindi serie simili per π, come le seguenti:

  • Serie per il calcolo di π (Hales e indipendentemente Victor Adamchik e Stan Wagon, 1997);

  • Serie per il calcolo di π;

  • Serie per il calcolo di π (Helaman R.P. Ferguson, David H. Bailey e Stephen Arno, 1999);

  • Serie per il calcolo di π;

  • Serie per il calcolo di π;

  • Serie per il calcolo di π;

  • Serie per il calcolo di π.

 

Nel 1997 Fabrice Bellard trovò una serie simile, ma che converge più rapidamente: Serie di Bellard per il calcolo di π.

Bellard utilizzò il 22/9/1997 la formula per calcolare il 1012-esimo bit e in seguito fu lanciato un progetto in rete (denominato PiHex) che utilizza il tempo di calcolo donato da volontari per calcolare singoli bit:

  • il 21/8/1998 fu annunciato che il 5 • 1012-esimo bit è zero;

  • il 9/2/1999 fu annunciato che il 40 • 1012-esimo bit è zero;

  • il 11/9/2000 uno sforzo coordinato, che impegnò per due anni 1734 calcolatori in 56 paesi, per un totale di 1200000 ore di tempo di calcolo, il progetto arrivò a stabilire che il quadrilionesimo (1015-esimo) bit nello sviluppo in base 2 di π è zero;

  • nel 2010 furono calcolati 256 bit intorno al 2 • 1015-esimo, utilizzando un migliaio di calcolatori per 23 giorni.

Tutto sommato una monetina permette di arrivare allo stesso risultato in un tempo molto inferiore, anche se con una probabilità d’errore del 50%.

 

Nel 1996 Victor Adamchik e Stan Wagon scoprirono una serie molto più generale: Serie di Adamchik e Wagon per il calcolo di π, dove z è un qualsiasi numero reale o complesso. In particolare per z = 0 abbiamo la serie di Bailey, Borwein e Plouffe.

 

Vari matematici scoprirono serie analoghe per calcolare singole cifre binarie di numerose costanti come:

  • Serie per il calcolo di log(10);

  • Serie per il calcolo di log(10);

  • Serie per il calcolo di log(10);

  • Serie per il calcolo di log(10);

  • Serie per il calcolo di arctan(1 / 2);

  • Serie di Bailey, Borwein e Plouffe per il calcolo di log(2)^2 (David H. Bailey, Peter Benjamin Borwein e Simon Plouffe, 1997);

  • Serie di Bailey per il calcolo di log(2)^2 (trovata da David H. Bailey e dimostrata da Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di log(2);

  • Serie di Knuth per il calcolo di sqrt(2) * arctan(sqrt(2) / 2) (Donald Ervin Knuth, 1998);

  • Serie per il calcolo di 7 / 8 * ζ(3);

  • Serie per il calcolo di log(3);

  • Serie di Adamchik e Wagon per il calcolo di arctan(2) (Victor Adamchik e Stan Wagon, 1996);

  • Serie per il calcolo di sqrt(2) * log(1 + sqrt(2));

  • Serie per il calcolo di sqrt(2) * log(1 + sqrt(2)) (Donald Ervin Knuth, 1998);

  • Serie per il calcolo di π * log(2) (David H. Bailey);

  • Serie per il calcolo di sqrt(2) * π;

  • Serie per il calcolo di sqrt(2) * π (David H. Bailey, Peter Benjamin Borwein e Simon Plouffe, 1997);

  • Serie per il calcolo di sqrt(2) * π;

  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π;

  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π (Donald Ervin Knuth, 1998);

  • Serie per il calcolo di π^2 (David H. Bailey, Peter Benjamin Borwein e Simon Plouffe, 1997);

  • Serie per il calcolo di π^2;

  • Serie per il calcolo di π^2 (David H. Bailey, Peter Benjamin Borwein e Simon Plouffe, 1997);

  • Serie per il calcolo di π^2;

  • Serie per il calcolo di π^2;

  • Serie per il calcolo di π^2;

  • Serie per il calcolo di π^2.

 

Una delle applicazioni di questi algoritmi sta nella verifica dei nuovi record nel calcolo delle varie costanti, soprattutto se stabiliti con programmi nuovi: dopo aver convertito il risultato in una base conveniente (di solito una potenza di 2) si calcolano varie cifre singole, tra quelle non disponibili in precedenza verso le ultime della costante. L’accordo di numerose cifre permette di stabilire che non si è verificato alcun errore e che l’implementazione dell’algoritmo è corretta.

Per altre serie simili v. costante di Apéry, costante di Catalan, zero, φ.

 

Per un certo periodo si è cercato un algoritmo simile, capace di dare una singola cifra di π o di un’altra costante trascendente in base 10: basterebbe una serie analoga a quella di Plouffe, ma con 1 / 10^n al posto di 1 / 16^n. Nel 2002 però Bailey dimostrò che non esiste alcun algoritmo del genere di quello scoperto da lui e dai suoi colleghi per calcolare le cifre di π in una base che non sia 2 o una potenza di 2. Anche se la dimostrazione di Bailey non esclude l’esistenza di un algoritmo completamente diverso per il calcolo delle cifre di π in un’altra base, il suo lavoro raffreddò parecchio gli entusiasmi.

 

Questa non è necessariamente la fine della storia, perché nel frattempo è stata scoperta una formula per il calcolo di π2 in base 3, che apre uno spiraglio alla possibilità di scoprire una formula per una semplice funzione di π in base 10: Serie per il calcolo di π^2.

 

Altre serie di questo genere, che permettono il calcolo di cifre singole in basi diverse da 2 sono:

  • Serie per il calcolo di log(3 / 2), per la base 5 (Jaume Oliver Lafont);
  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * arctan(sqrt(3) / 7), per la base 3 (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2001);
  • Serie per il calcolo di sqrt(7) / 2 * arctan(sqrt(7) / 3), per la base 7;
  • Serie per il calcolo di sqrt(7) / 2 * log((4 + sqrt(7)) / 3), per la base 7;
  • Serie per il calcolo di sqrt(5) * log(φ), per la base 5;
  • Serie per il calcolo di log(3), per la base 3 (Jaume Oliver Lafont);
  • Serie per il calcolo di log(3), per la base 3;
  • Serie per il calcolo di log(3)^2, per la base 3 (Géry Huvent, 2001);
  • Serie per il calcolo di log(5), per la base 3 (Jaume Oliver Lafont);
  • Serie per il calcolo di log(7), per la base 3 (Jaume Oliver Lafont);
  • Serie per il calcolo di 2 * log(3), per la base 3 (Géry Huvent, 2001);
  • Serie per il calcolo di log(10), per la base 3;
  • Serie per il calcolo di log(10), per la base 3;
  • Serie per il calcolo di log(13), per la base 3 (Jaume Oliver Lafont);
  • Serie per il calcolo di log(13), per la base 5;

  • Serie per il calcolo di 2 / 3 * π^2 – 2 * log(3)^2, per la base 3;
  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π, per la base 3 (David J. Broadhurst, 1998);
  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π, per la base 3;
  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π, per la base 3;
  • Serie per il calcolo di sqrt(3) * π, per la base 3 (Géry Huvent, 2001);
  • Serie per il calcolo di (25 * ζ(3) – 2 * π^2 * log(3)) / 9, per la base 3 (Géry Huvent, 2001);
  • Serie per il calcolo di (4 * log(3) * (log(3)^2 – π^2) – 52 * ζ(3)) / 3, per la base 3 (Géry Huvent, 2001);
  • Serie per il calcolo di π^2, per la base 3.

 

Una serie molto generale è: Serie per il calcolo di (a + 2 * b) * π * sqrt(3), per la base 3; da questa quale si possono ricavare casi particolari intessanti, come Serie per il calcolo di π * sqrt(3), per a = 1/3, b = 1/3, c = 0, sempre per la base 3 (S. Plouffe).

 

Sono anche state trovate formule che possono produrre cifre in basi diverse, come le seguenti:

  • Serie per il calcolo di x * log(x / (x – 1)), per la base x, e in particolare Serie per il calcolo di log(2), per la base 2, e Serie per il calcolo di log(10 / 9), per la base 10;

  • Serie per il calcolo di x^2 * log((x + 1) / x), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^2 * log((x – 1) / x), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di sqrt(x) * log((sqrt(x) + 1) / (sqrt(x) – 1)), per la base x (Jaume Oliver Lafont), e in particolare Serie per il calcolo di log(2), per la base 3 (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2001), Serie per il calcolo di log(3), per la base 2, e Serie per il calcolo di log(5 / 3), per la base 2;

  • Serie per il calcolo di x^2 * log((x^2 + x + 1) / (x^2 – 2 * x + 1)), per la base x, per x > 1 (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2001);

  • Serie per il calcolo di x^3 * log((x^2 ± x + 1) / x^2), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 2 * x^4 * log((2 * x^2 ± 2 * x + 1) / (2 * x^2)), per la base 2x2 (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 27 * x^6 * log((3 * x^2 ± 3 * x + 1) / (3 * x^2)), per la base 3x2 (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x * sqrt(x) / (2 * sqrt(2)) * log((x + sqrt(2 * x) + 1) / (x – sqrt(2 * x) + 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^2 * sqrt(x) / (2 * sqrt(3)) * log((x + sqrt(3 * x) + 1) / (x – sqrt(3 * x) + 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^(x – 2) * log((x^x – 1) / (x – 1)^x), per la base x (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2001);

  • Serie per il calcolo di arctan(1 / x), per la base x;

  • Serie per il calcolo di sqrt(x) * arctan(1 / sqrt(x)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 2 * x^2 / sqrt(3) * arctan(sqrt(3) / (2 * x – 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 2 * x^2 / sqrt(3) * arctan(sqrt(3) / (2 * x + 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^2 * sqrt(x) * arctan(sqrt(x) / (x – 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^3 * sqrt(x) / sqrt(2) * arctan(sqrt(2 * x) / (x – 1)), per la base x (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 54 * x^5 / sqrt(3) * arctan(1 / (sqrt(3) * (2 * x – 1))), per la base 3x2 (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di 54 * x^5 / sqrt(3) * arctan(1 / (sqrt(3) * (2 * x + 1))), per la base 3x2 (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^7 * arctan(2 * x – 1), per la base 4x2 (Kunle Adegoke, 2010);

  • Serie per il calcolo di x^7 * arctan(2 * x + 1) per la base 4x2 (Kunle Adegoke, 2010).

 

Le formule di questo tipo non sono limitate a basi intere: le precedenti, per esempio, sono valide anche in basi irrazionali. In basi non intere non hanno generalmente utilità pratica, ma possono legare tra loro varie costanti in modo assolutamente inaspettato, come le formule seguent1, che permettono il calcolo di singole cifre di costanti legate a π in basi legate a φ:

  • Serie per il calcolo di π^2;
  • Serie per il calcolo di 3 * π * sqrt(φ) / 5^(5 / 4).

 

Plouffe mostrò nel 1996 come a partire dalla serie Serie per il calcolo di π e da altre simili si possa ottenere un algoritmo per calcolare direttamente l’n-esima cifra di π e di altre costanti, in qualunque base. L’algoritmo però ha valore principalmente teorico, perché il tempo di calcolo è proporzionale a n3log3n ed aumenta troppo rapidamente con n.

In seguito tuttavia Fabrice Bellard migliorò l’algoritmo, rendendo il tempo di calcolo proporzionale a n2 e Xavier Gourdon trovò un algoritmo ancora migliore, che richiede un tempo di calcolo proporzionale a n^2 * log(log(n)) / log(n)^2.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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    Una semplice e divertente storia di π.

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    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

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    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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