Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Qui trovate le prime 106 cifre decimali (1 Mbyte).

 

Nell’intera storia umana π è stata sempre la costante matematica nota col maggior numero di cifre decimali, tranne che per brevi periodi (vedi e).

 

La tabella seguente dà i migliori risultati ottenuti nella storia, col numero di cifre decimali corrette e il metodo utilizzato; in alcuni casi sono stati impiegati due metodi differenti, per poter verificare il risultato. Molti risultati non rappresentano dei record, nel senso che risultati migliori erano stati raggiunti in precedenza, ma le difficoltà di comunicazione e le barriere linguistiche fecero sì che gli autori ritenessero d’aver stabilito un nuovo primato. La tabella include quindi anche alcune approssimazioni che si credeva stabilissero un nuovo record di precisione, solo perché nella cultura nella quale furono trovate non erano conosciute approssimazioni migliori, trovate da civiltà troppo lontane nel tempo o nello spazio.

Anno

Autore (calcolatore impiegato)

Cifre corrette

Valore e metodo

1900 a.C.

Babilonesi

2

Approssimazione babilonese per π

1650 a.C.

Ahmes

2

Approssimazione egizia per π

IX secolo a.C.

Yajnavlkya

2

Approssimazione indiana per π

Circa 250 a.C.

Archimede

3 (4 prendendo la media)

Approssimazione di Archimede per π, poligono di 96 lati.

1 d.C.

Matematico cinese sconosciuto

2

3.1547

125

Ch’ang Höng

2

Approssimazione di Ch’ang Höng per π

150

Claudio Tolomeo

4

Approssimazione di Tolomeo per π, (probabilmente con un poligono di 360 lati).

250

Wang Fan

2

Approssimazione di Wang Fan per π

263

Liu Hui

6

3.14159, poligono di 3072 lati.

380

Siddhanta

4

Approssimazione di Siddhanta per π

Circa 400

He Chengtian

3

Approssimazione di He Chengtian per π

Circa 480

Tsu Ch’ung-chih

7

3.1415929, poligono di 12288 lati.

499

Āryabhaţa

4

3.1416, poligono di 384 lati.

640

Brahmagupta

2

Approssimazione di Brahmagupta per π

800

Al Kwarizmi

4

3.1416

1150

Bhāskara

5

3.14156

1220

Leonardo Fibonacci

4

Approssimazione di Fibonacci per π, poligono di 96 lati.

1380 circa

Madhava

12

(18).

1424

Jamshīd al-Kāshī

17 (9 in notazione sessagesimale)

2π ≈ 6 + 16’59”28III1IV34V51VI46VII14VIII50IX, poligono di 3 • 228 lati.

1573

Valentin Otho

7

Approssimazione di Otho per π

1579

François Viète

10

Poligono di 3 • 217 lati.

1593

A. Van Roomen (Adrianus Romanus)

16

Poligono di 230lati.

1596

Ludolph Van Ceulen

21

Poligono di 60 • 233 lati.

1609

Ludolph Van Ceulen

36

Poligono di 262 lati.

1621

Willebrod Snellius

35

Poligono di 230 lati, migliorando la precisione del metodo di Archimede.

1630

Christoph Grienberger

39

Metodo di Archimede.

1663

Muramatsu Shigekiyo

14

 

1665

Isaac Newton

17

Sviluppo di arcsin(1 / 2).

1699

Abraham Sharp

72

Sviluppo di con serie di Gregory.

1700

Seki Kowa

11

 

1706

Machin

100

(9) con serie di Gregory.

1719

Thomas Fantet de Lagny (1660 – 1752)

127 (solo 112 corrette)

Sviluppo di arctan(1 / sqrt(3)) con serie di Gregory.

1720

Ryohitsu Matsunaga

51

Sviluppo di arctan(1 / 2).

1722

Kamata

26

 

1722

Takebe Katahiro

41

Poligono di 1024 lati.

1739

Yoshisuke Matsunaga

51

 

1789

Georg von Vega (1756 – 1802)

143 (solo 126 corrette)

(5).

1794

Georg von Vega (1756 – 1802)

140 (solo 136 corrette)

(1) con serie di Eulero.

1837

J.F. Callet

152

 

1841

William Rutherford

208 (solo 152 corrette)

(2).

1844

Zacharias Dase

205

(3) a mente!

1847

Thomas Clausen

248

(9) con serie di Gregory e (5).

1851

William Shanks

315

(9) con serie di Gregory.

1853

W. Lehman

261

(4) e (5) con serie di Eulero.

1852

William Rutherford

440

(9) con serie di Gregory.

1853

William Shanks

606 (solo 527 corrette)

(9) con serie di Gregory.

1855

Richter

500

 

1874

William Shanks

707 (solo 527 corrette)

(9) con serie di Gregory.

1877

Tseng Chi-hung

100

(4).

1945

D.F. Ferguson

560

(6).

1946

D.F. Ferguson

620

(6).

1947

D.F. Ferguson

710

(6).

1947

D.F. Ferguson

808

(6).

1947

Smith e Wrench

818

 

1949

D.F. Ferguson e John Wrench (calcolatrice da tavolo)

1120

 

3/9/1949

John von Neumann e George Reitwiesner (ENIAC, 70 ore), il primo calcolo di π effettuato con un vero elaboratore programmabile

2037

(9) con serie di Eulero.

1954

S.C. Nicholson e J. Jeenel (NORAC, 13 minuti)

3092

 

1957

Felton (Ferranti Pegasus, 33 ore)

10021 (solo 7480 corrette)

(7).

1958

Genuys (IBM 704, 100 minuti)

10000

 

1958

Felton (Ferranti Pegasus, 33 ore)

10021

(7) e (8).

1959

Guilloud (IBM 704, 4.3 ore)

16167

(9) con serie di Gregory

1961

(IBM 7090, 39 minuti)

20000

 

1961

Daniel Shanks e John W. Wrench (IBM 7090, 8h 43’)

100265

(8) e (10).

1966

Jean Guilloud e J Filliatre (IBM 7030, 41h 35’, 24h 35’)

250000

(8) e (10).

1967

Jean Guilloud e Dichampt (CDC 6600, 28h 10’, 16h 35’)

500000

(8) e (10).

1973

Jean Guilloud e Martin Bouyer (CDC 7600, 23h 18’, 13h 40’)

1001250

(8) con sviluppo di Eulero e (10).

1981

Yasumasa Kanada e Kazunori Miyoshi (FACOM M-200, 137.3h, 143.3h)

2000036

(9) e (7).

1982

Guilloud (IBM 704)

2000050

 

1982

Yoshiaki Tamura (MELCOM 900II, 7h 14’)

2097144

Algoritmo di Brent e Salamin.

1982

Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada (Hitachi M-280H, 2h 21’)

4194288

Algoritmo di Brent e Salamin.

1982

Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada (Hitachi M-280H, 6h 52’)

8388576

Algoritmo di Brent e Salamin.

1983

Yasumasa Kanada e Yasunori Ushiro (Hitachi S-820/20, 24h, 30h)

10013395

(8) e algoritmo di Brent e Salamin.

1983

Yoshiaki Tamura, Sayaka Yoshino e Yasumasa Kanada (Hitachi M-280H, 30h)

16777206

Algoritmo di Brent e Salamin.

1985

William Gosper (Symbolics 3670)

17526200

(15) e algoritmo quartico dei Borwein.

1986

David H. Bailey (CRAY 2, 28h 40h)

29360111

Algoritmi dei Borwein a convergenza quartica e quadratica.

1986

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura (Hitachi S820/20, 6h 36’)

33554414

Algoritmo di Brent e Salamin.

1986

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura (Hitachi S820/20, 23h)

67108839

Algoritmo di Brent e Salamin.

1987

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura (NEC SX 2, 35h 15’, 48h 2’)

134217470

Algoritmo di Brent e Salamin e algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1988

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura (Hitachi S820/80, 5h 57’, 7h 30’)

201326551

Algoritmo di Brent e Salamin, algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1989

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky (Cray-2 e IBM 3090/VF)

480000000

(17).

1989

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky

525229270

(17).

1989

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura

536870898

Algoritmo di Brent e Salamin, algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1989

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky (IBM 3090)

1011196691

(17).

1989

Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura

1073741799

Algoritmo di Brent e Salamin, algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1991

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky (calcolatore autocostruito)

2260000000

(17).

1994

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky

4044000000

(17).

1995

Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi (Hitachi S-3800/480)

4294967286

Algoritmo di Brent e Salamin, algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1995

Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi (Hitachi S-3800/480)

6442450000

Algoritmo di Brent e Salamin, algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1996

David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky

Oltre 8 miliardi

 

1996

Yasumasa Kanada (Hitachi S-3800/480)

17.1 miliardi

Algoritmo di Brent e Salamin e algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1997

Yasumasa. Kanada e Daisuke Takahashi (Hitachi SR2201, 1024 CPU, 29 ore)

51.5396 miliardi

Algoritmo di Brent e Salamin e algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1999

Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi (Hitachi SR8000, 72h14’39”)

68.71947 miliardi

Algoritmo di Brent e Salamin e algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

1999

Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi (Hitachi SR8000/MPP, 83h28’14”)

206158430208

Algoritmo di Brent e Salamin e algoritmo a convergenza quartica dei Borwein.

2002

Yasumasa Kanada (Hitachi SR8000/MPP, 600 ore)

1241.1 miliardi

(11) e (12).

2009

Yasumasa Kanada e altri

2576980377524

 

2009

Fabrice Bellard (131 giorni)

2699999990000

(17).

2010

Shigeru Kondo (90 giorni)

5 • 1012

(17).

2011

Alexander Yee e Shigeru Kondo (371 giorni)

1013

(17).

 

Johann Martin Zacharias Dase (1824 – 1861) era un calcolatore prodigioso, capace di moltiplicare a mente due numeri di 20 cifre in 6 minuti e due di 100 in 8h45’ (sempre a mente!), ma non un matematico; Schultz von Strassitzky lo programmò letteralmente, scegliendo l’algoritmo e spiegandogli il procedimento di calcolo, che Dase semplicemente eseguì. Il calcolo di 200 cifre richiese meno di 2 mesi.

In seguito Dase calcolò una tabella di logaritmi degli interi sino a un milione, sempre lavorando sotto supervisione altrui, e altre tabelle, preziose ai tempi. Su raccomandazione di Gauss, l’Accademia delle Scienze di Amburgo lo finanziò perché calcolasse una tabella di fattori dei numeri sino a 10 milioni, che sfortunatamente non fu completata per la morte di Dase.

Così Gauss, tra i numerosi suoi primati, fu anche il primo a pagare per il puro tempo di calcolo di un calcolatore (umano, non meccanico o elettronico, ma la precisazione non è importante).

 

A quanto pare fu Clausen a rendersi conto per primo della possibilità di sbagliare i calcoli e a calcolare π con due metodi differenti, per verificare la correttezza del lavoro.

 

Il calcolatore autocostruito dei fratelli Chudnowsky è un vero “home computer”, nel senso che occupa una buona porzione della loro casa. Interamente progettato dai due e costruito con componenti acquistati per posta, costò solo 77000 dollari, una minuscola frazione del costo di altre macchine di capacità simili impegnate nella sfida.

 

E’ interessante notare che l’ultimo record ha richiesto 371 giorni di calcolo da parte di un calcolatore. Come paragone, le 707 cifre richiesero a Shanks una buona parte della sua vita, D.F. Ferguson, con una calcolatrice da tavolo, impiegò un anno a calcolarne 808, Guillod arrivò a 10000 in un’ora e 40 minuti.

 

Daniel Shanks nel 1962, dopo aver calcolato oltre centomila cifre affermò che il calcolo di π con un miliardo di cifre di precisione sarebbe stato impossibile per sempre; la sua previsione fu smentita solo trent’anni dopo, grazie a nuovi algoritmi e ai progressi degli elaboratori. Resta il fatto che “mai” è un termine molto pericoloso da usare nelle previsioni.

Questo insuccesso non impedì ai Borwein di predire nel 1988 che non conosceremo mai la 101000-esima cifra di π. Certo, non potremo probabilmente scrivere tutte le cifre fino a quella, semplicemente per mancanza di spazio per immagazzinarle nell’universo (anche usando elettroni come cifre), ma siamo sicuri che non si possa calcolare quella singola cifra? Staremo a vedere.

 

Oggi il calcolo di centinaia di milioni di cifre di π è comunemente utilizzato come prova di supercalcolatori nuovi: la verifica è facile e il risultato è corretto solo se la macchina riesce a compiere migliaia di miliardi di calcoli senza errori.

 

Dopo la 761-esima cifra vi è una sequenza di sei “9”, nota come “punto di Feynmann”, perché il grande fisico asseriva scherzando di voler imparare a memoria le cifre fino a una sequenza del genere (che era sicuro si sarebbe trovata, ma non sapeva ancora dove) per poter recitare la sequenza concludendo con: “ ... nove, nove, nove, nove, nove, nove e così via”. Da notare che se Feynman avesse veramente voluto portare a termine l’impresa, sarebbe stato incredibilmente fortunato, dovendo imparare a memoria un numero ancora ragionevole di cifre, perché in una sequenza di cifre casuali la probabilità di avere sei o più 9 consecutivi entro le prime 766 cifre è circa 0.0685%. In effetti, sebbene prima delle sequenza capitino varie coppie di cifre identiche ed alcune triple, non vi è nessuna sequenza di quattro o cinque cifre uguali prima della sequenza cercata da Feynman. Per confronto, la successiva sequenza di 6 cifre uguali, ancora dei 9, inizia alla 193034-esima cifra e la prima sequenza di sei 0 inizia alla 1699927-esima cifra.

 

In base 10 sono state cercate numerose altre sequenze, come:

  • 666 (il numero della Bestia), che compare per la prima volta iniziando alla 2440-esima cifra;

  • 314159 (le prime cifre di π), che compare per la prima volta iniziando alla 176451-esima cifra;

  • 666666, che compare per lal prima volta iniziando alla 252499-esima cifra;

  • 0123456789, che compare per la prima volta iniziando alla 13378594880-esima cifra;

  • 666666666, che compare per la prima volta iniziando alla 45681781-esima cifra;

  • 27182818284 (le prime cifre di e), che compare per la prima volta iniziando alla 45111908393-esima cifra;

  • 9876543210, che compare per la prima volta iniziando alla 21981157633-esima cifra.

 

Sia le cifre di π che quelle del suo reciproco appaiono non avere alcun ordine, quale che sia la base della rappresentazione e, in effetti, hanno superato tutti le prove di casualità escogitate, nel senso che appaiono completamente “casuali”. π sembra quindi essere normale, ma appare estremamente difficile provarlo.

Come conseguenza, qualsiasi sequenza di k cifre fissate in base b dovrebbe apparire infinite volte, la prima delle quali probabilmente entro le prime kbk cifre. Utilizzando un semplice codice come 1 = A, 2 = B, … Z = 26, ci si può quindi attendere di trovare il proprio nome, o qualsiasi parola non troppo lunga tra le cifre già note.

Il sito http://pi.nersc.gov offre un servizio di questo tipo, utilizzando la base 32 per rappresentare le 26 lettere dell’alfabeto inglese e i sei caratteri: ‘:’ ‘;’ ‘,’ ‘_’ ‘-’ e ‘.’, dove il carattere ‘_’ può essere inteso come spazio, permette una ricerca tra i primi 4 miliardi di cifre binarie di π. Ho così scoperto che la prima occorrenza del mio nome inizia alla cifra (binaria) di indice 259912412.

 

Prendendo parte della rappresentazione decimale di π dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 3, 31, 314159, 31415926535897932384626433832795028841; Ed T. Prothro trovò nel 2001 il successivo prendendo le prime 16208 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.

 

Tra le curiosità segnalo la sequenza 9136319, che compare a partire dalla 9128219-esima cifra: sia 9136319 che 9128219 sono primi palindromi e sono consecutivi, nel senso che tra di loro non vi è alcun altro primo palindromo.

 

Come frazione continua π ha uno sviluppo selvaggio, apparentemente privo di qualsiasi regolarità: Rappresentazione di π come frazione continua

La successione dei numeri a denominatore è 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2... e non mostra alcuna regolarità; troncando questa frazione si ottengono eccellenti approssimazioni: per esempio, arrestandosi prima del 292 si ottiene l’approssimazione cinese Approssimazione cinese per π, che dà 7 cifre corrette.

 

William Gosper calcolò nel 1977 i primi 17001303 termini della frazione continua; H. Haverman calcolò venti milioni di termini (giugno 1999) e poi 100 milioni (2002).

Alla voce frazioni continue trovate i primi 10000 termini.

 

Esistono però frazioni continue legate a π molto più regolari:

  • Rappresentazione di π come frazione continua;

  • Rappresentazione di π come frazione continua;

  • Rappresentazione di π come frazione continua;

  • Rappresentazione di π come frazione continua, dove l’n-esimo numeratore, tranne il primo, è dato da (n + (–1)n)(n + (–1)n + 1), cioè (n + 1)(n + 2) per n pari e n(n – 1) per n dispari (Stern, 1833);

  • Rappresentazione di 4 / π come frazione continua (Brouncker, 1658), che si ricava da Rappresentazione di arctan(x) come frazione continua;

  • Rappresentazione di 16 / π come frazione continua;

  • Rappresentazione di 2 / (π – 2) come frazione continua;

  • Rappresentazione di 12 / π^2 come frazione continua;

  • Rappresentazione di 6 / (π^2 – 6) come frazione continua, dove l’n-esimo numeratore (contandoli a partire da zero) è dato da Valore dell’n-esimo numeratore;

 

Al genio di Ramanujan dobbiamo la seguente stupenda formula: Rappresentazione di sqrt(e * π / 2) come frazione continua. Né la serie infinita, né la frazione continua si possono esprimere tramite e oπ, ma la loro somma, incredibilmente sì! La frazione continua vale Valore della frazione continua.

 

Nella storia sono stati fatti anche veri tentativi per “misurare” π, generalmente basati sul ritagliare e pesare circonferenze realizzate in materiale di spessore e peso specifico noti (si veda la parte sulla quadratura del cerchio).

Non sono però mancate le idee più originali, come l’esperimento proposto nel 1733 dal naturalista e matematico George Louis Leclerc, conte di Buffon (Montbard, Francia, 7/9/1708 – Parigi, 16/4/1788), consistente nel lasciar cadere un ago su una griglia di sottili linee parallele equidistanti e contare quante volte l’ago intersechi una delle linee. L’esperimento è in realtà un problema di calcolo delle probabilità, oggi considerato abbastanza semplice; se la distanza d tra le linee è maggiore della lunghezza l dell’ago, la probabilità che l'ago intersechi una linea è Probabilità che l'ago intersechi una linea, quindi un elevato numero di lanci fornisce una rozza stima di π.

Wolf nel 1850 a Zurigo fu a quanto pare il primo ad avere l’originale idea di tentare realmente un esperimento di questo tipo per misurare π! Tracciate sottili linee distanti 45 mm, lanciò 5000 volte un ago lungo 36 mm, contando quante volte finiva a cavallo di una linea e ottenne il valore 3.1596. L’esperimento fu in seguito ripetuto da Smith (1855) e Fox (1864), che si limitarono a 3200 e 1100 lanci, ottenendo rispettivamente i valori 3.1553 e 3.1419. Quest’ultimo è tanto buono, da essere sospetto; può anche darsi però che Fox abbia ridotto con qualche accorgimento gli errori sperimentali dei suoi predecessori, dovuti forse alla difficoltà di valutare correttamente le situazioni nelle quali l’estremità dell’ago è molto vicina a una linea e all’influenza dell’orientamento iniziale dell’ago sulla sua posizione finale.

Mario Lazzarini nel 1901 riferì d’aver eseguito 3408 lanci, ottenendo il valore 3.1415929, assolutamente inverosimile per la precisione, tanto che l’esperimento è stato messo in dubbio e generalmente considerato un falso (v. John Maddox, “False calculation of π by experiment”, Nature, 1/8/1994).

Oggi questo esperimento viene talvolta simulato con un calcolatore nei corsi di informatica.

 

Una variante interessante fu suggerita da Nahin in Duelling Idiots and Other Probability Puzzles: e consiste nel lanciare sopra un tavolo circolare un ago (o meglio una sottile bacchetta) non più lungo del diametro del tavolo; contano solo i lanci nei quali l’ago non cade dal tavolo.

La probabilità che nessuna estremità dell’ago sporga dal bordo del tavolo è Probabilità che nessuna estremità dell’ago sporga dal bordo del tavolo, dove k è il rapporto tra lunghezza dell’ago e raggio del tavolo, quindi un gran numero di lanci permette di arrivare a una stima di π. Il vantaggio di questa versione sta nel fatto che è più facile procurarsi un tavolo col piano quasi perfettamente circolare, che non tracciare un gran numero di linee sottili, parallele ed equidistanti, inoltre bisogna chinarsi meno spesso a raccattare l’ago.

 

Per chi trovasse scomodo o pericoloso maneggiare aghi, suggerisco un esperimento alternativo per una stima di π basata su osservazioni di esperimenti casuali: si lancia una moneta su una scacchiera e si osserva quante volte essa cade coprendo un vertice di una casella. Se la moneta termina sporgendo anche di poco oltre i bordi della scacchiera, il lancio va ripetuto.

La scelta migliore è una moneta di diametro di poco inferiore al lato delle caselle; in tal caso la probabilità che copra un vertice è Probabilità che la moneta copra un vertice di una casella, dove l è la lunghezza del lato delle caselle e r il raggio della moneta.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

  • Bailey, D.H.;  Borwein, Peter Benjamin;  Plouffe, Simon;  "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" in Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pag. 903 – 913.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Nahin, Paul J.;  Duelling Idiots and Other Probability Puzzles, Princeton, Princeton University Press, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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