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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

La transizione al terzo periodo, che potremmo chiamare computazionale, inizia con lo sfruttamento dei lavori di Srinivasa Ramanujan (Erode, India, 22/12/1887 – Chetput, India, 26/4/1920), che scoprì serie sorprendenti ed efficientissime, nel senso che il calcolo di un piccolo numero di termini fornisce approssimazioni incredibilmente buone.

 

Le varie formule basate sull’arcotangente richiedono il calcolo di un numero di termini della serie proporzionale al numero di cifre desiderate e quindi sono relativamente lente, se si desidera calcolare un miliardo di cifre o più, anche con calcolatori estremamente veloci.

Le formule di Ramanujan permettono di ridurre il numero di termini necessari; la più famosa è (15) Serie di Ramanujan per il calcolo di 1 / π, che produce circa 8 cifre corrette per ogni termine in più utilizzato (anche solo troncando la serie al primo termine, con k = 0, si ottiene l’approssimazione Approssimazione per 1 / π, che dà già ben 7 cifre decimali corrette) e non è che un caso particolare di un teorema generale, che permette di produrre infinite serie analoghe.

Questa formula ha una storia curiosa: Ramanujan la scrisse, senza degnarsi di pubblicarne una dimostrazione (forse per lui era troppo facile); quando Ralph William Gosper la usò per calcolare oltre 17 milioni di cifre di π non era ancora stata completata la dimostrazione della sua correttezza, tuttavia era stata dimostrata l’esistenza di una formula del genere e l’unico dubbio riguardava le costanti intere che contiene (in particolare 1103). Il fatto che il valore calcolato coincidesse per le cifre allora note con quelli calcolati in altro modo fornì la prima dimostrazione della validità della formula; dimostrazione rigorosa, non empirica, perché gli altri possibili valori per le costanti avrebbero causato differenze ben prima dei 10 milioni di cifre allora note.

Anche la formula di Ramanujan (pubblicata nel 1914) Serie di Ramanujan per il calcolo di 16 / π – 5 è piuttosto efficiente per il calcolo e permette di calcolare circa due cifre per termine.

Ramanujan però non si impegnò nella gara, perché era più interessato alle formule e ai metodi per ottenerle, che non al loro effettivo utilizzo; scoprì, infatti, anche molte formule di notevole interesse teorico, ma che non permettono un calcolo particolarmente veloce, come la seguente: Serie di Ramanujan per il calcolo di 2 / π, in realtà già dimostrata da Bauer.

 

I metodi di Ramanujan vennero a lungo ignorati, anche perché non aveva fornito giustificazioni rigorose della loro correttezza.

Gosper però mostrò che quelle strane formule potevano essere utilizzate e riaccese l’interesse, sia nel dimostrarne la correttezza, sia nell’impiegarle per calcolare un gran numero di cifre di π.

 

In seguito i fratelli David V. e Gregory V. Chudnovsky utilizzarono i lavori di Ramanujan per ricavare la formula (17) Serie dei fratelli Chudnovsky per il calcolo di 1 / π, che permette di calcolare circa 14 cifre per termine e nel 1987 i fratelli canadesi Jonathan Michael e Peter Benjamin Borwein ottennero Serie dei fratelli Borwein per il calcolo di 1 / π, che permette di calcolare circa 31 cifre per termine.

Ulteriori perfezionamenti permisero ai Borwein di arrivare a una serie che permette di calcolare circa 50 cifre per termine: dati Valore di a, Valore di b e Valore di c, vale Serie dei fratelli Borwein per il calcolo di 1 / π. La maggior complessità dei termini rende però meno conveniente l’utilizzo di questa serie.

 

Nel frattempo, rendendosi conto che i metodi che richiedevano di sommare un numero di termini proporzionale al numero di cifre desiderato stavano esaurendo le loro possibilità di impiego, i matematici cercarono altre vie.

Nel 1976 Eugene Salamin e Richard P. Brent estesero i lavori di Gauss e Legendre sul calcolo iterato di media geometria e aritmetica (v. funzione agm) e sulle applicazioni al calcolo di integrali ellittici (v. costante di Gauss), giungendo a un algoritmo che permette di raddoppiare il numero di cifre di precisione con pochi semplici passi. Si inizia con a0 = 1, Valore di b(0), Valore di t(0), poi si eseguono in successione i seguenti calcoli: Formula per a(n + 1), Formula per b(n + 1), Formula per t(n + 1); Approssimazione per π fornisce un’approssimazione per π, che può essere migliorata a piacere aumentando il numero di iterazioni.

In particolare Salamin dimostrò che l’errore dopo n iterazioni è inferiore in valore assoluto a Limite superiore per l'errore dopo n iterazioni. L’algoritmo è a convergenza quadratica, ovvero il numero di cifre corrette raddoppia all’incirca a ogni iterazione: con sole 10 iterazioni si ottengono già oltre 2700 cifre di precisione.

Dall’algoritmo si ottengono alcune varianti come la ricorrenza: a0 = 0, Valore di b(0), u0 = 0, v0 = 1, Formula per a(n + 1), Formula per b(n + 1), Formula per u(n + 1), Formula per v(n + 1), per la quale valgono i limiti π ottenuto tramite limiti che coinvolgono i valori delle successioni.

 

Il secondo algoritmo a convergenza quadratica, pubblicato dai Borwein nel 1984, è basato sulla ricorrenza: Valore di a(0), b0 = 0, Valore di p(0), Formula per a(n + 1), Formula per b(n + 1), Formula per p(n + 1); in questo caso vale π ottenuto come limite della successione p(n) e in particolare Limite superiore per l'errore dopo n iterazioni.

I Borwein osservarono che il metodo di Archimede è computazionalmente equivalente, nel senso che i calcoli da eseguire sono gli stessi, se si considera an il reciproco dell’area del poligono di 2n lati inscritto in un cerchio di raggio 1 e bn il reciproco dell’area del poligono circoscritto con lo stesso numero di lati, iniziando con Valore di a(2) e Valore di b(2), ma la convergenza utilizzando solo le successioni an e bn è molto più lenta.

 

Nel 1987 i Borwein pubblicarono un’altra ricorrenza a convergenza quadratica: Valore di a(0), Valore di b(0), Formula per a(n + 1), bn + 1 = (1 + an + 1)2bn – 2n + 1an + 1, Formula per p(n + 1); in questo caso vale 1 / π ottenuto come limite della successione b(n) e in particolare Limite superiore per l'errore dopo n iterazioni.

 

I Borwein pubblicarono nel 1991 anche un algoritmo a convergenza cubica, basato sulla ricorrenza: Valore di a(0), Valore di b(0), Formula per r(n + 1), Formula per a(n + 1), Formula per b(n + 1), dove 1 / π ottenuto come limite della successione b(n).

 

Beeler nel 1972 aveva già pubblicato un algoritmo a convergenza cubica: an + 1 = an + sinan converge a a(0) / π, troncato all'intero inferiore e moltiplicato per π (per esempio, iniziando con a0 = 10, converge a 3π) ed era stato dimostrato che erano possibili algoritmi con qualsiasi grado di convergenza, però questi algoritmi utilizzavano funzioni trigonometriche, molto inefficienti da calcolare con la precisione richiesta.

 

I Borwein svilupparono nel 1985 anche un algoritmo che permette di quadruplicare il numero di cifre a ogni iterazione, per mezzo della ricorrenza: Valore di a(0), Valore di b(0), Formula per b(n + 1), Formula per a(n + 1); an fornisce approssimazioni sempre migliori di 1 / π.

Seguirono un algoritmo che quintuplica il numero di cifre a ogni iterazione e uno che le moltiplica addirittura per sedici, sempre utilizzando solo le operazioni elementari e l’estrazione di radice.

I Borwein dimostrarono anche che, fissato un intero positivo n, esistono algoritmi del genere capaci di moltiplicare per n il numero di cifre a ogni iterazione. Molti di questi algoritmi non hanno avuto applicazioni pratiche nel calcolo delle cifre di π, perché sebbene permettano di ridurre il numero di iterazioni, richiedono molte più operazioni per ogni iterazione. Sperimentalmente sembra che le migliori prestazioni, in termini di tempo di calcolo, siano offerte da algoritmi a convergenza quartica.

 

Altre ricorrenze analoghe, sempre dei Borwein) sono:

  • Valore di a(0) e b(0), Formula per a(n + 1), bn + 1 = (1 + 3an + 1)bn – 2n + 1an + 1, dove 1 / π ottenuto come limite della successione b(n) (convergenza quadratica);

  • a0 = 2, Valore di b(0), Formula per b(n + 1), Formula per a(n + 1), dove 1 / π ottenuto come limite della successione b(n) (convergenza quadratica);

  • Valore di a(0), Valore di b(0), Formula per a(n + 1), bn + 1 = (1 + 2an + 1)2bn – 4 • 3nan + 1(1 + an + 1), dove 1 / π ottenuto come limite della successione b(n) (convergenza cubica).

 

Per dare un’idea dell’efficacia di questi metodi, cito il fatto che per stabilire il record di poco meno di 36 milioni di cifre calcolate nel 1986 da Bailey furono necessarie solo circa 100 moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radice, sebbene tutte dovettero essere eseguite con la stessa enorme precisione.

 

In seguito sono state scoperti vari altri algoritmi iterativi che in teoria permettono di calcolare π con precisione arbitrariamente grande, ma non sono utilizzati per stabilire nuovi record perché meno efficienti.

Per esempio, definendo Formula per la definizione di f(x), data la ricorrenza Formula per g(0), Formula per g(n), per qualsiasi valore di x maggiore di zero vale Prodotto infinito uguale a π.

gemelli

Vedi anche

Numeri affamati.

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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    Una semplice e divertente storia di π.

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    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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