Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Il secondo periodo, che termina nel 1980, è il periodo classico, caratterizzato dalla ridefinizione di π tramite l’analisi e dal conseguente uso di serie rapidamente convergenti per approssimarlo. Il significato geometrico della costante passa in secondo piano.

 

La prima formula basata su una sequenza infinita per il calcolo di π, almeno in Europa, è di Viete nel 1593: Formula di Viète per il calcolo di 2 / π, ovvero Formula di Viète per il calcolo di π.

Questo prodotto infinito, però, venne ricavato approssimando π con un poligono di 2n lati, quindi per via puramente geometrica, pertanto è forse più corretto posticipare l’inizio al 1655, quando John Wallis (Ashford, Inghilterra, 23/11/1616 – Oxford, 28/10/1703) dimostrò che Formula di Wallis per il calcolo di π / 2.

La formula di Wallis ha grande importanza storica, perché fu la prima formula per calcolare π senza usare numeri irrazionali (come quelli prodotti dalle radici quadrate), e fu scoperta prima dell’invenzione del calcolo infinitesimale. Dal punto di vista pratico ha invece scarsa importanza, perché il prodotto infinito converge troppo lentamente.

 

Nel 1658 William Brouncker (1620 – 5/4/1684) ricavò dal prodotto di Wallis un’approssimazione basata sulle frazioni continue: Frazione continua di Brouncker per il calcolo di π / 4, ancora inadatta al calcolo con molte cifre di precisione.

 

La svolta si ebbe nel 1671, quando il matematico scozzese James Gregory (Drumoak, Scozia, 11/1638 – Edinburgh, 10/1675) dimostrò che Serie di Gregory per il calcolo dell'arcotangente, per |x| < 1.

Sommando a coppie i termini della serie, si ottiene un’espressione equivalente, ma leggermente più efficiente da calcolare: Serie di Gregory per il calcolo dell'arcotangente, per |x| > 1.

 

Sebbene la serie porti ora il suo nome, Gregory fu preceduto di almeno due secoli e mezzo: la serie si trova (in versi!) in Tantrasamgratha, un libro scritto dall’astronomo indiano Kelallur Nilakantha Somayaji (1444 – 1544) in sanscrito, probabilmente intorno al 1500. La serie è data senza dimostrazione, ma si ritova, insieme con le serie per seno e coseno e le relative dimostrazioni, in Yuktibhāṣā, scritto da Jyeṣṭhadeva (circa 1500 – circa 1610) circa un secolo dopo, in Malayalam, la lingua allora parlata nel Kerala, sulla costa Sud-Ovest dell’India.

Lo scopritore non è del tutto certo: Nilakantha attribuisce la serie per il seno all’astronomo e matematico Madhava (Sangamagramma, India, circa 1340 – India, circa 1425) e altri Autori indiani attribuirono a Nilakantha le altre scoperte.

Purtroppo non è sopravvissuta che una piccola parte dei lavori di Madhava e possiamo conoscerli solo attraverso rifacimenti e traduzioni dei discepoli della scuola di astronomia e matematica che fondò. Sappiamo che valutò l’errore commesso sommando solo un certo numero di termini della serie molto meglio di quanto fecero in seguito Newton e Leibniz e fu il primo a calcolare π tramite una serie, arrivando a 12 cifre decimali, utilizzando i primi 21 termini della serie Serie di Madhava per il calcolo di π, che per θ = π / 6 diviene (18) Serie di Madhava per il calcolo di π.

Trovò inoltre due trasformazioni della serie “di Gregory” per x = 1 che rendono più veloce il calcolo: Serie di Madhava per il calcolo di π / 4 e Serie di Madhava per il calcolo di π / 4.

 

Nilakantha pubblicò anche un’altra serie che converge più rapidamente: Serie di Nilakantha per il calcolo di π, che però non venne mai utilizzata per il calcolo delle cifre di π.

 

Nel 1676 Newton dimostrò che (16) Serie di Newton per il calcolo dell'arcoseno e con questo metodo, basandosi sull’identità Identità usata da Newton per il calcolo di π, calcolò 16 cifre decimali. La serie di Newton è però più scomoda da utilizzare di quella di Gregory e non venne mai usata per stabilire nuovi record.

 

La serie di Gregory converge abbastanza rapidamente solo se x è piccolo; per esempio, nella forma più semplice, con x = 1 diventa la formula di Leibniz Serie di Leibniz per il calcolo di π / 4, nella quale i primi 1000 termini danno solo 2 cifre decimali esatte. Leibniz stesso, del resto, aveva notato che dimezzando i termini della sua serie e raggruppandoli, si poteva ottenere una serie con una convergenza più veloce: Serie di Leibniz per il calcolo di π / 8.

La serie di Gregory non è assolutamente convergente per x = 1, vale a dire che cambiando l’ordine degli addendi, cambia la somma. Infatti, se riordiniamo i termini sommando due termini positivi e uno negativo in questo modo: Serie di Gregory per x = 1, con termini riordinati otteniamo Valore della serie di Gregory per x = 1, con termini riordinati. Uno dei piccoli misteri che ostacolarono l’accettazione dell’analisi da parte di molti matematici del XVII secolo.

 

Il matematico inglese Abraham Sharp (1651 – 1742) nel 1699 utilizzò la serie di Gregory con x = 1 / sqrt(3) per calcolare 72 cifre decimali, con 150 termini della serie.

 

Il trucco per sfruttare efficacemente la serie di Gregory sta nell’esprimere π come somma di multipli di piccoli angoli e in questo il metodo si salda con la storia dei metodi puramente geometrici.

 

Il primo a percorrere questa via fu John Machin (1686 – 9/6/1751), che nel 1706 dimostrò che (9) Formula di Machin (nota appunto come formula di Machin). Combinata con la serie di Gregory per calcolare l’arcotangente, la formula fornì uno dei metodi migliori e più usati per il calcolo di π: Formula di Machin per il calcolo di π.

Machin stesso servendosi di questa formula superò la barriera delle 100 cifre.

 

Nel 1722 il matematico giapponese Takebe Katahiro (1664 – 24/8/1739), noto anche come Takebe Kenkō, dimostrò, 15 anni prima di Eulero, che Serie di Takebe per arcsin(x)^2 e quindi Serie di Takebe per il calcolo di π^2, per x ≥ 1, che per x = 1 diviene Serie di Takebe per il calcolo di π^2 e per x = 3 divieneSerie di Takebe per il calcolo di π^2 ; ai tempi della scoperta queste serie sarebbero state tra le migliori per il calcolo di π, ma che io sappia neppure queste furono utilizzate per stabilire record.

Tra le altre cose Takebe scoprì e utilizzò l’estrapolazione di Richardson per accelerare la convergenza delle serie un paio di secoli prima di Lewis Fry Richardson (11/10/1881 – 30/9/1953), ma come capitò a quasi tutti i matematici orientali, i suoi meriti furono riconosciuti tardi, quando le scoperte erano ormai legate ai nomi di matematici occidentali arrivati dopo, senza conosce i lavori dei loro precursori.

 

Nel 1755 Eulero dimostrò che Serie di Eulero per arctan(x); per x = 1 / 7x^2 / (1 + x^2) diventa 1 / 50 = 2 / 100 e per x = 3 / 79 diviene 9 / 6250 = 166 / 100000, quindi lavorando in notazione decimale il calcolo delle potenze viene molto semplificato. Restava da esprimere π in termini di arctan(1 / 7) e arctan(3 / 79): una bazzecola per il grande matematico. Utilizzando l'identità (1) Identità usata da Eulero per calcolare π e la serie mostrata sopra per l'arcotangente, fu in grado di calcolare 20 cifre in un’ora.

Esprimendo π come somma di arcotangenti e poi utilizzando la serie di Eulero o la serie Serie per arctan(x), si possono ottenere sviluppi in serie efficienti per il calcolo di numerose cifre.

 

Eulero generalizzò anche il prodotto di Viète, dimostrando che Generalizzazione di Eulero del prodotto di Viète, che si riduce al prodotto di Viète se θ = π / 2.

 

I due secoli seguenti videro lo sviluppo di molte formule simili, alcune delle quali studiate per permettere un calcolo più efficiente, principalmente in due modi: riducendo x nella formula di Gregory o in altre simili si riduce il numero di termini da utilizzare a parità di cifre calcolate, mentre utilizzando valori di x che permettano un rapido calcolo delle potenze, come 1 / 10, si rendono i calcoli più semplici.

Il problema divenne quindi trovare il miglior compromesso tra ridurre il numero di serie da calcolare e rendere più agevole il calcolo delle stesse, calcolo che, non va dimenticato, era manuale.

 

Nel frattempo vennero trovate molte altre formule, come quelle raccolte da James Whithbread Lee Glaisher (Lewisham, Kent, 5/11/1848 – Cambridge 7/12/1928) nel 1878, che sono invece rimaste di importanza teorica o semplici curiosità, senza applicazioni, per ora, al calcolo effettivo di π.

 

Dmitry Aleksandrovich Grave (Kirillov, Russia, 6/9/1863 – Kiev, 19/12/1939) pose il problema di determinare quali formule permettessero di esprimere π come somma di arcotangenti con meno di 3 termini e nel 1895 Fredrik Carl Mülertz Størmer (Skien, Norvegia, 3/9/1874 – Blindern, Norvegia, 13/8/1957) lo risolse, dimostrando che sebbene si possano produrre infinite formule del genere (v. numeri di Størmer) sfruttando le identità Identità per una somma di arcotangenti, per ab < 1, Identità per una differenza di arcotangenti, per ab > –1 e Identità per esprimere π /4 come differenza di arcotangenti, per p e q interi e maggiori di zero, ve ne sono solo 5 con uno o due termini, vale a dire che esistono solo 5 identità del tipo Identità per esprimere k * π /4 come somma di arcotangenti con n, m, k, x e y interi:

  • π /4 = arctan(1);

  • (4) Formula di Eulero (formula di Eulero);

  • Formula di Hermann (formula di Hermann);

  • (5) Formula di Hutton (formula di Hutton, 1776); tramite lo sviluppo di Eulero, questa formula diventa Formula di Hutton con lo sviluppo di Eulero per l'arcotangente, particolarmente adatta al calcolo in base 10;

  • Formula di Machin (formula di Machin).

Di queste espressioni la formula di Machin è la più efficiente, dal punto di vista del numero di termini da calcolare per ottenere una precisione fissata, però formule con un numero maggiore di termini possono permettere di risparmiare fatica, se i denominatori crescono più velocemente o hanno una forma particolare.

Størmer produsse inoltre un elenco di 102 formule con 3 termini, delle quali solo 6 hanno denominatori diversi da 2, 3, 5, 7 e 239:

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • (6) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (S.L. Loney, 1893);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti.

Størmer non riuscì a dimostrare che il suo elenco fosse completo, anzi, non riuscì neppure a dimostrare che le formule con 3 termini sono in numero finito. In effetti non lo sono, a meno di considerare equivalenti serie con gli stessi denominatori, ma coefficienti diversi e linearmente indipendenti (v. la formula di Hwang più avanti).

 

Propongo un elenco, inevitabilmente incompleto, delle più famose formule di questo genere:

  • (3) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Strassnitzky, 1844); è l’unico modo per esprimere π /4 come somma di 3 arcotangenti di reciproci di interi, non moltiplicati per qualche coefficiente;

  • Identità per esprimere π / 2 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Georg von Vega, 1796);

  • (2) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Eulero, 1764);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • (10) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Størmer, 1896);

  • (7) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (S. Klingenstierna, 1730);

  • (8) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Gauss, 1863); con lo sviluppo di Eulero e grazie al fatto che il fatto che 572 + 1 = 10(182 + 1) = 3250, la formula diventa Formula per calcolare π; in questo modo i termini della seconda serie possono essere ricavati dividendo per potenze di 10 quelli della prima;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Gauss);

  • Identità per esprimere π / 2 come somma algebrica di arcotangenti;

  • (12) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Kikuo Takano, 1982);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • (11) Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Størmer, 1896);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Bernt Klostermark);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Boris Gourévitch);

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti (Chien-Lih Hwang, 1997), la più efficiente formula di questo tipo nota, nel senso che permette di ridurre al minimo il numero di termini da calcolare, a parità di cifre ottenute;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti;

  • Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti.

 

Hwang compilò nel 1997 una tabella, contenente 1500 sviluppi di questo genere e arricchì la casistica di due famiglie infinite di sviluppi, ricavabili dalle identità Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti e Identità per esprimere π / 4 come somma algebrica di arcotangenti.

Alcune delle formule sopra riportate possono essere ricavate come casi particolari da queste identità.

 

Una famiglia infinita curiosa, anche se di nessuna utilità pratica, è data dall’identità Identità per esprimere π come somma algebrica di arcotangenti con argomenti legati ai numeri di FIbonacci (Horner, 1969).

 

In formule di questo genere gli argomenti delle arcotangenti non devono essere necessariamente razionali; sono note alcune formule con argomenti irrazionali, che pure si prestano al calcolo di numerose cifre:

  • (13) Identità per esprimere π / 2 come somma algebrica di arcotangenti;

  • (14) Identità per esprimere π / 6 come somma algebrica di arcotangenti.

 

Data una qualunque somma di arcotangenti della forma Identità per esprimere π come somma algebrica di arcotangenti, si possono ottenere infinite serie tramite la formula Serie per calcolare π che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie, dove x è un numero reale tale che x2 > 1 e Tk(x) è un polinomio di Chebyshev di prima specie. Per esempio, partendo dalla serie di Machin con x = 10 otteniamo Serie per calcolare π che coinvolge polinomi di Chebyshev di prima specie, relativamente semplice e adatta al calcolo manuale in base 10.

Le stesse serie possono essere ottenute sostituendo i polinomi di Chebyshev con ricorrenze equivalenti: per ogni valore di k da 1 a m si definisce la ricorrenza: Formula per U(k, 1), Formula per U(k, 2)Formula per U(k, n) e la serie diventa Serie per calcolare π.

 

Recentemente sono stati impiegati elaboratori per cercare varianti che permettano un calcolo efficiente di π, trasformando gli argomenti dell’arcotangente in uno dei numerosi modi consentiti da formule note da tempo.

Le formule di Machin, Hutton, Hermann e Eulero sono le uniche per rappresentare π come somma o differenza di due arcotangenti del reciproco di un intero, ma ne esistono altre con due arcotangenti di valori razionali (1), o con due arcotangenti di numeri irrazionali (13, 14).

Nonostante l’abbondanza di formule, sembra che solo dodici di quelle basate sullo sviluppo dell’arcotangente (numeri da 1 a 12) e una basata sullo sviluppo dell’arcoseno (16) siano sono state realmente impiegate per calcolare π con molte cifre di precisione:

 

Nel XIX secolo furono in molti a proseguire su questa strada: Dase, Lehmann, Clausen, Rutherford e finalmente William Shanks (1812 – 1882), al quale appartiene lo spiacevole primato d’aver commesso l’errore di calcolo più famoso del mondo. Nel 1853 Shanks pubblicò 607 cifre di π e nel 1874 arrivò a 707, ma di queste solo 527 erano corrette. L’enormità del lavoro manuale richiesto per migliorare il record di Shanks scoraggiò ulteriori tentativi, sino all’avvento degli elaboratori elettronici; il suo errore fu quindi scoperto solo nel 1947, quando Ferguson impiegò una calcolatrice da tavolo per arrivare a 808.

Le prime 600 cifre calcolate da Shanks erano nel frattempo state scritte sulle pareti di una stanza del Palais de la Découverte a Parigi e fu necessario correggerne una parte.

A dire il vero qualche sospetto sui calcoli di Shanks sussisteva anche prima: le cifre di π hanno sempre superato tutti i test di “casualità” inventati, nel senso che non mostrano la minima regolarità. Tra le cifre di Shanks, però il 7 compariva con la frequenza attesa, circa 1 volta su 10, tra le prime 500, per poi divenire meno frequente, come notò Augustus De Morgan (Madras, oggi Chennai, India, 27/6/1806 – Londra, 18/3/1871) nel 1872.

Non esiste una motivo teorico per il quale le cifre di π debbano avere proprietà di questo genere, ma forse per motivi estetici i matematici le hanno sempre trovate gradevoli ed è stato un sollievo per tutti quando si è scoperto che le irregolarità stavano nel calcolo di Shanks, non nelle cifre di π.

Per riabilitare lo sfortunato matematico, faccio notare che detenne per parecchio tempo i record per il calcolo di varie costanti con il maggior numero di cifre decimali e quello su π fu l’unico errore che commise. Oltre a π e γ Shanks calcolò i logaritmi di 2, 3, 5 e 10 con 137 cifre di precisione nel 1853.

 

La successiva stasi di oltre 70 anni nella corsa a nuovi record nel calcolo di cifre di π si deve in parte al fatto che Shanks aveva raggiunto (e forse oltrepassato) i limiti delle capacità di calcolo umane, ma anche alla perdita di ogni motivazione, dovuta alle dimostrazioni di Lambert e Lindemann: il primo, dimostrando l’irrazionalità di π, aveva tolto ogni speranza di trovare una sequenza periodica di cifre; il secondo aveva vanificato in pratica la speranza di trovare una regolarità nelle cifre stesse. Non che i numeri trascendenti non possano avere una regolarità nelle cifre (si veda il numero di Liouville), ma in pratica solo quelli artificialmente costruiti esibiscono strutture regolari, mentre gli altri sembrano essere normali.

 

Il secondo periodo si chiuse con un massiccio uso di elaboratori elettronici, che tra il 1945 e il 1982 innalzarono il record, portandolo poco alla volta a oltre 2 milioni di cifre, sempre utilizzando una delle formule sopra citate.

I calcolatori, in particolar modo i più antichi, non sono comunque esenti da errori: il primo calcolo di Felton si rivelò errato dopo 7480 cifre proprio a causa di un errore della macchina, che non si ripeté quando il calcolo fu rieseguito, l’anno successivo.

Da allora i record sono quasi sempre stati verificati ripetendo il calcolo, possibilmente con una diversa macchina e un metodo differente.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Una semplice e divertente storia di π.

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    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

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