Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Dato che π è il numero più famoso, più affascinante e più spesso calcolato, è anche quello per il quale sono stati cercati più metodi differenti per calcolarlo. Siccome inoltre compare in numerosissime formule, molte delle quali offrono una potenziale via d’attacco al problema, non sorprende che siano note moltissime serie che permettono di calcolarlo.

 

Il calcolo di un gran numero di cifre di π non ha finalità pratiche immediate; come scrisse Simon Newcomb (1835 – 1909): “Dieci cifre decimali di π bastano a dare la circonferenza della Terra a una frazione di pollice e trenta darebbero la circonferenza dell’Universo visibile con un errore impercettibile al microscopio più potente”. Da allora la dimensione stimata dell’universo è aumentata e la precisione dei microscopi (non solo ottici) molto migliorata, ma le oltre cento cifre note già agli inizi del ‘700 sono comunque più di quanto ogni utilizzo pratico (in fisica o ingegneria) possa richiedere.

Inoltre a causa del campo gravitazionale, lo spazio non è euclideo e il calcolo della lunghezza di una circonferenza fatto utilizzando π senza le necessarie correzioni dà risultati errati oltre la quattordicesima cifra sul nostro pianeta e oltre la sesta sul Sole.

 

Come suggerì E.W. Hobson, la storia del calcolo di π può essere suddivisa in tre periodi.

Il primo periodo ha prodotto approssimazioni da poche cifre, sino ad alcune decine; il secondo ha raggiunto le centinaia manualmente e le migliaia con gli elaboratori, fino a superare i due milioni; il terzo ha prodotto prima vari milioni, poi miliardi di cifre.

 

Il primo periodo, o “periodo geometrico”, va dall’antichità al XVII secolo; è caratterizzato dalla definizione di π per via geometrica e dai metodi geometrici di approssimarne il valore. In tale contesto π non era visto come una costante matematica, ma come un rapporto geometrico e non aveva una notazione propria.

In questo periodo ricadono gli sforzi di Babilonesi, Egizi, Indiani, Cinesi e Greci, culminanti col lavoro di Archimede.

 

Le primissime approssimazioni, con due o tre cifre decimali corrette, rispondevano a esigenze pratiche, ma già nel secondo millennio a.C. alcuni matematici profusero sforzi per calcolare π con una precisione ben al di là delle necessità tecniche, data anche la limitata precisione degli strumenti di misura dell’epoca.

 

La più antica approssimazione nota proviene da una tavoletta babilonese rinvenuta a Susa e datata a circa il 2000 a.C., che riporta l’approssimazione Approssimazione babilonese per π.

 

Nel papiro di Rhind (1650 a.C. circa) lo scriba Ahmes suggerisce, per ottenere un quadrato di area equivalente a quella di un cerchio dato, di togliere 1 / 9 dal diametro e prendere il segmento risultante come lato del quadrato. In questo modo si utilizza l’approssimazione Approssimazione di Ahmes per π.

Non sappiamo con certezza come quest’approssimazione sia stata ottenuta, ma Hermann Engels avanzò nel 1977 una plausibile congettura: se cerchiamo di tracciare un quadrato sovrapposto a un cerchio della stessa area, otterremo istintivamente un disegno simile a quello della figura seguente.

 

Circonferenza sovrapposta a un quadrato equivalente

 

Viene abbastanza spontaneo collocare il punto A a una distanza dal vertice più vicino uguale a 1 / 4 del lato, ottenendo da un cerchio di raggio 1 un quadrato di area 3.2, leggermente troppo grande. Se sovrapponiamo al quadrato un reticolo, con passo pari a 1 / 16 del lato, estendendolo anche al di fuori del quadrato, il disegno diviene quello della figura seguente.

 

Circonferenza sovrapposta a un quadrato equivalente

 

La circonferenza di raggio OA sembra passare per il punto B del reticolo; non è vero, ma anche con un disegno accurato è difficile notarlo; rimpicciolendo lievemente il quadrato in modo che B sia sul reticolo e OB sia il raggio del cerchio, otteniamo l’approssimazione di Ahmes, leggermente migliore di quella babilonese.

E’ anche possibile che gli Egizi fossero consci del fatto che in questo modo si commette un piccolo errore, ma utilizzassero questa regola come approssimazione, sufficiente per scopi pratici.

 

Gli Egizi conoscevano anche l’approssimazione Approssimazione egizia per π, anch’essa più che sufficiente ai loro scopi.

 

In Cina nel 1200 a.C. circa veniva usata l’approssimazione π ≈ 3, nettamente peggiore.

 

In India intorno all’800 a.C comparve una raccolta di testi (Šulba Sûtra) contenente una regola (dovuta a Bhaudhayana, uno dei tre Autori dei Sutra più importanti) per tracciare un cerchio e un quadrato supposti della stessa area, dalla quale si ricava l’insolito valore Valore indiano per π, approssimato con Approssimazione indiana per π e nel IX secolo l’astronomo Yajnavlkya in Shatapatha Brahmana suggerì l’approssimazione Approssimazione di Yajnavlkya per π.

 

Partendo da un poligono regolare (di solito si utilizzano esagono o quadrato), è semplice ricavare il perimetro di un poligono con un numero doppio di lati, inscritto o circoscritto alla stessa circonferenza.

Chiamando un la metà della lunghezza del lato di un poligono di 2nk lati circoscritto a una circonferenza di raggio 1, e vn la distanza del vertice dal centro, semplici applicazioni dei teorema di Pitagora permettono di dimostrare che Formula per u(n + 1) e Formula per v(n + 1). Il perimetro del poligono circoscritto è 2nun, che fornisce una stima per eccesso di 2π; in modo analogo il perimetro del poligono inscritto fornisce una stima per difetto. Aumentando il numero di lati, aumenta (lentamente) la precisione, ma anche la fatica necessaria per ottenere il risultato voluto.

Una formulazione equivalente, ma altrettanto inefficiente, si ottiene partendo dall’esagono regolare, prendendo Formula per x(0), y0 = 3 e calcolando Formula per x(n + 1), Formula per y(n + 1). In questo caso π come limite di x(n) e y(n).

 

Sembra sia stato Antifonte (Atene, 480 a.C. – Atene, 410 a.C.) a proporre questo metodo, ma non è chiaro se sia reso conto che, sebbene tutti i poligoni della sequenza siano quadrabili, non lo è il limite al quale la sequenza tende, ossia il cerchio. Errore comprensibile, perché all’epoca mancava un preciso concetto di limite non erano note le proprietà delle successioni convergenti.

Il metodo è comunque valido per ottenere buone approssimazioni di π, come riconobbe Euclide (278 a.C. – 212 a.C.), che dimostrò che l’area del cerchio è proporzionale al quadrato del diametro.

 

Il metodo dei poligoni con numero crescente di lati fu utilizzato per ottenere le prime approssimazioni rigorose di π da Eudosso di Cnido (408 a.C. – 355 a.C.) e da Archimede (Siracusa, 278 a.C. – Siracusa, 212 a.C.), che iniziò con l’esagono e proseguì il calcolo, raddoppiando ogni volta il numero di lati, sino a un poligono di 96 lati, per trovare Approssimazione di Archimede per π, vale a dire Approssimazione di Archimede per π, cioè 3 cifre decimali corrette, che diventano 4 se si prende la media dei due valori estremi.

In realtà l’approssimazione di Archimede era leggermente migliore, perché il matematico siracusano aveva ottenuto l’approssimazione Approssimazione di Archimede per π, ossia, in notazione moderna, 3.1410319508 < π < 3.1427145996, ma preferì, come tutti i suoi predecessori, esprimere i risultati come frazioni con denominatore piccoli, non avendo una notazione più comoda per i numeri reali

Sembra anche che in un libro, che non ci è pervenuto, Archimede sia arrivato a 7 cifre decimali, cosa che con questo metodo, anche prendendo al media tra i perimetri del poligono circoscritto e di quello inscritto, avrebbe richiesto arrivare a un poligono di 12288 lati.

 

L’approssimazione di Archimede è importante non solo perché molto migliore delle precedenti, pur usando frazioni con denominatori relativamente piccoli, ma anche perché ricavata con un metodo rigoroso, che consentiva di stimare con precisione l’errore massimo commesso.

Archimede trovò altre splendide approssimazioni razionali, come Approssimazione di Archimede per la radice quadrata di 3Approssimazione di Archimede per la radice quadrata di 3 per Radice quadrata di 3, che danno rispettivamente 5 e 6 cifre corrette.

 

Con la notazione moderna, possiamo descrivere il metodo di Archimede con due ricorrenze: Formula per a(0), Formula per a(n) e Formula per b(0), Formula per a(n), dove an è metà del lato di un poligono inscritto di 6 • 2n lati, e bn è metà del lato del poligono circoscritto con lo stesso numero di lati; di conseguenza π come limite di a(n) e b(n).

 

Apollonio di Perga (Perga, Turchia, 262 a.C. – Alessandria, Egitto, 190 a.C.) utilizzò i metodo di Archimede, giungendo all’approssimazione leggermente migliore 3 + 17 / 120.

 

Quando i Romani conquistarono Siracusa e uccisero Archimede, posero fine allo sviluppo  scientifico in Europa: in un millenno di storia Roma produsse grandi artisti, filosofi e letterati, ma nessun vero scienziato. Alcuni catalogarono fenomeni, piante, animali e minerali e si posero domande, ma nessun rappresentante della potenza latina conseguì risultati scientifici originali. Nel caso della matematica, possiamo dire che il maggior contributo di Roma si deve a Cicerone, che trovò e restaurò la tomba di Archimede.

Poi al disastro succedette la catastrofe: l’avvento della Chiesa cattolica bloccò ogni sviluppo scientifico per oltre un millennio dovunque arrivò a estendere il suo potere; non sorprende quindi che i successivi sviluppi nel calcolo di π si debbano a matematici arabi e asiatici.

Per dare un’idea dell’arretratezza della matematica in questa parte del mondo durante il periodo romano e gran parte del Medio Evo, basti citare il fatto che la prima traduzione in latino degli Elementi di Euclide, testo considerato ancora oggi fondamentale e usato nel mondo per la didattica fino al XVIII secolo, arrivò solo nel 1120, dall’arabo e ad opera dell’inglese Abelardo di Bath (Bath, UK, 1080 – Bath, UK, 1152).

 

Nell’antica Cina sembra fosse utilizzato 3 come approssimazione per π, poi nel 125 il matematico cinese Ch’ang Höng (78 – 139) propose come (mediocre) approssimazione Approssimazione di Ch’ang Höng per π o Approssimazione di Ch’ang Höng per π, quest’ultima basata sul presunto rapporto tra le dimensioni della Cielo e della Terra.

 

Nel terzo secolo in Cina era usata l’approssimazione Approssimazione cinese per π.

 

L’astronomo e matematico cinese Liu Hui (Zibo, Cina, 225 – 295), rendendosi conto che le approssimazioni in uso erano tutte poco precise, si propose di calcolarne una migliore. Utilizzando un metodo analogo a quello di Archimede, con un poligono di 3072 lati, arrivò all’approssimazione 3.1416. Liu in seguito rese più veloce il calcolo, sfruttando il fatto che le differenze tra le aree dei poligoni costituiscono una serie geometrica, in modo da poter utilizzare un poligono di soli 96 lati. Va notato che quella che a noi appare come una semplice applicazione del teorema di Pitagora per raddoppiare il numero di lati implica l’estrazione di una radice quadrata, operazione non molto agevole, servendosi di un abaco, quindi ridurre il numero di lati era importante per ridurre lo sforzo necessario per arrivare alla precisione voluta.

Utilizzando il calcolo dell’area dei poligoni inscritti, invece del loro perimetro, come aveva fatto Archimede, Liu fu in grado di migliorare notevolmente la precisione, a parità di numero di lati del poligono utilizzato.

Nel suo commento al libro Chiu Chang Suan Shu (Nove capitoli dell’arte matematica), il più antico e famoso testo di matematica cinese, descrisse quello che oggi chiameremmo un algoritmo iterativo per approssimazioni successive, dimostrandone la correttezza e mostrò d’aver compreso quello che oggi chiameremmo “il concetto di limite”, sfruttandolo per giustificare la formula per l’area del cerchio, come limite dell’area di un poligono regolare inscritto con un numero crescente di lati. Il matematico cinese suggerì 3.14 come approssimazione valida per scopi pratici, non mancando di far notare come sia leggermente in difetto.

 

Due secoli dopo Tsu Ch’ung-chih (Jiankang, Cina, 429 – Cina 500) utilizzò il metodo di Liu per migliorare l’approssimazione, stabilendo un record che resistette per 9 secoli. L’astronomo cinese determinò, infatti, probabilmente con un poligono di 12288 lati, che il valore di π è compreso tra 3.1415926 e 3.1415927, suggerendo l’uso dell’eccellente approssimazione Approssimazione di Tsu Ch’ung-chih per π per scopi pratici.

 

Il matematico indiano Āryabhaţa (Kusumapara, India, 476 – 550) riprese il metodo dei poligoni e arrivò all’approssimazione 3.1416 con un poligono di 384 lati. Stranamente però per calcolare il volume della sfera suggerì di moltiplicare l’area di un cerchio di ugual raggio per la sua radice quadrata; in questo modo si ottiene per una sfera di raggio unitario un volume pari a Approssimazione di Aryabhata per il volume della sfera di raggio unitario, molto superiore al valore corretto Volume della sfera di raggio unitario.

 

I primi matematici persiani e arabi, a partire da Muhammad ibn Musa al-Kwaritzmi (780 – 850), usarono varie approssimazioni di origine indiana, poi, spinti dalle esigenze di precisione dell’astronomia, produssero tavole di seni e coseni sempre migliori e corrispondentemente migliori approssimazioni di π.

 

In Italia Fibonacci (Pisa, 1175 – Pisa, 1240) utilizzò il metodo di Archimede, forse riscoprendolo o forse trovandolo in manoscritti arabi, e arrivò all’approssimazione 3.1418.

Dante sembra conoscesse l’ottima approssimazione Approssimazione per π nota a Dante.

 

Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-Kashi (intorno 1380 in Kahsan, Iran – 11/6/1429, Samarcanda, Uzbekistan, 22/6/1429) nel suo Trattato sulla circonferenza (pubblicato in persiano a Samarcanda nel 1424) stabilì un record che resistette per 180 anni, calcolando π con 9 cifre sessagesimali di precisione, corrispondenti a circa 16 cifre decimali, utilizzando un poligono di 805306368 lati.

 

Fino al XVI secolo i migliori valori di π furono quasi tutti calcolati da astronomi, desiderosi di accrescere la precisione delle loro tabelle, poi, quando la precisione raggiunta superò quella necessaria anche per le più precise applicazioni, furono matematici “puri” a cimentarsi nell’impresa.

 

François Viète (Fontenay-le-Comte, Francia, 1540 – Parigi, 13/2/1603) utilizzò il metodo di Archimede, arrivando a poligoni di 393216 lati, per ottenere l’approssimazione, corretta sino alla decima cifra, 3.1415926535 < π < 3.1415926537.

 

Adriaan van Roomen (Leuven, Belgio, 29/9/1561 – Mainz, Germania, 4/5/1615) arrivò a 16 cifre nel 1593.

 

Ludolph van Ceulen dedicò al calcolo di π buona parte della sua vita; nel 1596 battè il record di Mas’ud al-Kashi calcolando 21 cifre e nel 1609 arrivò a 36.

 

Nel 1621 Willebrord Snellius (1580 – Leida, 30/10/1626) arrivò “solo” a 34 cifre e nel 1630 Christoph Grienberger arrivò a 39, che resta il miglior risultato ottenuto in occidente con il metodo dei poligoni.

 

Snellius e Christiaan Huygens (14/4/1629 – 8/7/1695) dimostrarono che utilizzando il perimetro del poligono circoscritto si ottiene una convergenza più rapida, permettendo di ridurre il numero di lati necessari per ottenere una precisione fissata.

 

I metodi geometrici hanno in generale una convergenza troppo lenta e la quantità di calcoli necessari aumenta troppo rapidamente rispetto al numero di cifre calcolate, limitandone l’efficacia.

 

Possiamo considerare chiuso il primo periodo, almeno in Occidente, nel 1654, quando Christiaan Huygens calcolò 9 cifre utilizzando un poligono di soli 60 lati, grazie a raffinamenti del metodo dei poligoni inscritti e circoscritti.

 

In Oriente e in particolar modo in Giappone, invece, il metodo dei poligoni restò in uso più a lungo, senza però produrre grandi risultati. Nel 1663 Muramatsu Shigekiyo dimostrò in Sanso come usare un poligono inscritto per approssimare π. L’importanza dell’opera non sta in questo risultato, già raggiunto da due millenni, ma nel fatto che l’Autore dimostrò e pubblicò il metodo: fino allora, infatti, seguendo la migliore tradizione pitagorica, le dimostrazioni in Giappone erano segreti gelosamente custoditi dalle scuole, quindi spesso andati persi.

Muramatsu arrivò solo a 7 cifre, mentre Seki Kowa ne calcolò 16 nel 1712 e Tatebe Kenko 49 (la miglior approssimazione ottenuta con metodi geometrici), tuttavia i loro lavori non fecero molta presa sui matematici giapponesi e fino al XIX secolo l’approssimazione più comune per π in Giappone rimase la radice quadrata di 10.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

  • Bailey, D.H.;  Borwein, Peter Benjamin;  Plouffe, Simon;  "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" in Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pag. 903 – 913.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Nahin, Paul J.;  Duelling Idiots and Other Probability Puzzles, Princeton, Princeton University Press, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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