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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Nel calcolo differenziale π spunta fuori un po’ dovunque, in esercizi per studenti come in formule che hanno richiesto l’impegno dei massimi matematici; riporto solo alcuni degli innumerevoli integrali che coinvolgono π:

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a π / 2;

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a π / 4;

Integrale indefinito (Newton, 1666) e quindi Integrale definito uguale a π / 16 e Integrale definito legato a π;

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a π / 2;

Integrali definiti legati a π;

Integrali definiti legati a π;

Identità legata a π, per n > 0, e in particolare Integrale definito uguale a π e Integrale definito uguale a π;

Integrale definito uguale a π / 2;

Integrale definito uguale a π / 4;

Integrale definito uguale a sqrt(2 * π) / 2;

Integrali definiti uguali a log(2) / 2 * π;

Integrali definiti legati a π, dove C è la costante di Catalan;

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a π;

Integrali definiti uguali a π^2 / 20;

Integrali definiti legati a π;

Integrale definito uguale a sqrt(π);

Integrale definito legato a π;

Integrali definiti legati a π;

Integrale definito uguale a π^2 / 144;

Integrale definito uguale a π^2 / 32;

Integrale definito uguale a π^3 / 8;

Integrale definito legato a π;

Integrale definito legato a π;

Integrale definito uguale a log(2 / π) (Jonathan Sondow);

Integrale definito uguale a sqrt(π) / 2;

Integrale definito uguale a sqrt(π);

Integrali definiti uguali a –π / 2 * log(2);

Integrale definito legato a π, dove C è la costante di Catalan;

Integrale definito legato a π;

Integrale definito legato a π, dove C è la costante di Catalan;

Integrale definito legato a π;

Integrale definito legato a π;

Integrale definito legato a π; da notare i due integrali simili Integrale definito legato a ζ(3) e Integrale definito legato a ζ(3), che invece non coinvolgono π;

Integrale definito uguale a π^3 / 12;

Integrale definito uguale a 7 / 108 * π^3;

Integrale definito legato a π e dato che Differenza di integrali definiti uguale a log(2)^4 / 2, otteniamo Integrale definito uguale a –π^4 / 180;

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 6;

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 12;

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 12 – log(2)^2 / 2;

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 8;

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 6 – log(3)^2 / 2 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 3 + 3 * log(2)^2 + 2 * log(3)^2 – 6 * log(2) * log(3) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a sqrt(3) * π / 9;

Integrale definito doppio uguale a π^2 * log(2) / 4 – ζ(3) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a π^2 * log(2) / 4 – ζ(3) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a π^2 / 12;

Integrale definito doppio uguale a log(1 / π) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a log(4 / π) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a (π + 2) / 8 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a log(sqrt(2 * π) / Γ(3 / 4)^2) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a sqrt(π) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a 2 * (sqrt(2) – 1) * sqrt(π) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a sqrt(π) * (8 * sqrt(2) – 10) / 3 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale definito doppio uguale a π^2 / (16 * tan(π / 8)) – log(tan(π / 8))^2 / (4 * tan(π / 8)) (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Integrale indefinito di cammino uguale a 2 * i * π, dove l’integrale è calcolato lungo una qualsiasi curva chiusa continua e differenziabile che giri una volta intorno all’origine;

Integrale indefinito di cammino uguale a 2 * π, dove l’integrale è calcolato lungo una qualsiasi curva chiusa continua e differenziabile che giri una volta intorno all’origine.

 

Due curiosi integrali ci danno la differenza tra π e due antiche approssimazioni razionali:

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a 22 / 7 – π;

Integrale indefinito e quindi Integrale definito uguale a 355 / 113 – π.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

  • Bailey, D.H.;  Borwein, Peter Benjamin;  Plouffe, Simon;  "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" in Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pag. 903 – 913.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
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  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Greco, Pietro;  Storia di π, Roma, Carocci editore, 2016.
  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Nahin, Paul J.;  Duelling Idiots and Other Probability Puzzles, Princeton, Princeton University Press, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Meandri matematiciali" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 109.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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