Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Alcune serie per calcolare π e varie costanti correlate come somma di reciproci di interi e loro potenze:

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π, per z anche complesso, ma diverso da un intero o dalla metà di un intero dispari (Eulero), e in particolare per z = 1/4 otteniamo Serie che converge a π;

Serie che converge a π / 3;

Serie che converge a (π – 3) / 4;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π, per a e b maggiori di zero e in particolare Serie che converge a π;

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch);

Serie che converge a un valore legato a π, per x reale (Boris Gourévitch) e in particolare Serie che converge a π, per k intero, anche negativo e Serie che converge a π / 2, per k intero, anche negativo;

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π;

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo(Boris Gourévitch);

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo(Boris Gourévitch);

Serie che converge a π, per k intero, anche negativo (Boris Gourévitch) e in particolare Serie che converge a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π (Abraham Sharp, 1717);

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π (Géry Huvent);

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a π^2 / 12;

Serie che converge a π^2;

Serie che converge a un valore legato a π, per k intero, anche negativo;

Serie che converge a π^3;

Serie che converge a π^6 (Jaume Olivier Lafont, 2016).

 

Alcune serie che coinvolgono fattoriali e coefficienti binomiali per calcolare π e varie costanti correlate:

Serie che converge a π (Eulero, 1737);

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π (Newton);

Serie che converge a π (William Gosper);

Serie che converge a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a π;

Serie che converge a π (Newton);

Serie che converge a π;

Serie che converge a π / 3;

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a π (Fabrice Bellard);

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Serie che converge a una costante legata a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a una costante legata a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a una costante legata a π (Ramanujan);

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π (Ramanujan);

Serie che converge a un valore legato a π, per |x| < 1 e in particolare per x = 1 / 2 abbiamo Serie che converge a una costante legata a π e per x = (φ – 1) / 2 abbiamo Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π, dove C è la costante di Catalan;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π (Jesus Guillera);

Serie che converge a una costante legata a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a una costante legata a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a una costante legata a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a una costante legata a π, ovvero Serie che converge a una costante legata a π (Ramanujan);

Serie che converge a una costante legata a π (Ramanujan 1914);

Serie che converge a una costante legata a π (Heng Huat Chan, Song Heng Chan, e Zhiguo Liu, 2004);

Serie che converge a una costante legata a π (Takeshi Sato, 2002);

Serie che converge a una costante legata a π (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006);

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π, dove C è la costante di Catalan;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π;

Serie che converge a una costante legata a π(Zhi-Wei Sun, 2010).

 

Dalle seguenti tre formule: Serie che converge a una costante legata a π e log2Serie che converge a una costante legata a π e log2 e Serie che converge a una costante legata a π e log2, si ottengono due curiose serie a convergenza piuttosto rapida per calcolare π e log2: Serie che converge a π e Serie che converge a 6 * log2.

Varie altre serie analoghe si trovano tra le formule alla voce coefficienti binomiali centrali.

 

Da notare le seguenti serie, simili ad alcune riportate sopra, ma che convergono a valori diversi, senza alcuna relazione con π:

Serie che converge a 1 / 12;

Serie che converge a 3 / 4 – log2 (v. le serie di Nilakantha, nella parte sulla storia del calcolo);

Serie che converge a 17 / 2 – log2 (v. le serie di Nilakantha, nella parte sulla storia del calcolo);

Serie che converge a 4(4 + sqrt(2))(3 – 2 * sqrt(2));

Serie che converge a 2 / Γ(3 / 4)^4 (Ramanujan);

Serie che converge a 8 – 4 * sqrt(3);

Serie che converge a 9 * log2 (Boris Gourévitch);

Serie che converge a 36 * log2 (Jesus Guillera);

Serie che converge a 64 * log2 (Boris Gourévitch);

Serie che converge a 625 * log2 (Jesus Guillera);

Serie che converge a 470596 * log2 (Boris Gourévitch).

 

Alcune serie che coinvolgono i numeri di Fibonacci per calcolare π:

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π, per k > 0; e in particolare Serie che converge a π (Fibonacci);

Serie che converge a π / 4 (J.R. Goggins, 1973) e quindi Serie che converge a π / 4;

Serie che converge a π^2.

 

Alcune serie di Ramanujan che coinvolgono la funzione Γ (con argomenti non interi) per calcolare π e varie costanti correlate:

Serie che converge a 4 / π, da cui Serie che converge a 4 * sqrt(π);

Serie che converge a 4 / π, da cui Serie che converge a 4 * sqrt(2 * π);

Serie che converge a 8 / π, da cui Serie che converge a 8 * sqrt(2 * π);

Serie che converge a 16 / π, da cui Serie che converge a 16 * sqrt(π);

Serie che converge a 32 / π, da cui Serie che converge a 32 * sqrt(π);

Serie che converge a 27 / (4 * π), da cui Serie che converge a 32 * sqrt(π);

Serie che converge a 72 / π, da cui Serie che converge a 72 * sqrt(2 * π);

Serie che converge a sqrt(2) / (4 * π), da cui Serie che converge a sqrt(π) / 2;

Serie che converge a 9 * sqrt(2) / (4 * π), da cui Serie che converge a 9 * sqrt(π) / 2;

Serie che converge a 2 * sqrt(3) / π, da cui Serie che converge a 2 * sqrt(6 * π);

Serie che converge a 15 * sqrt(3) / (2 * π), da cui Serie che converge a 15 * sqrt(π);

Serie che converge a 16 / (sqrt(3) * π), da cui Serie che converge a 16 * sqrt(2 * π) / sqrt(3);

Serie che converge a 49 / (3 * sqrt(3) * π), da cui Serie che converge a 49 * sqrt(2 * π) / (3 * sqrt(3));

Serie che converge a 288 / (sqrt(5) * π), da cui Serie che converge a 288 * sqrt(2 * π) / sqrt(5);

Serie che converge a 18 * sqrt(11) / π, da cui Serie che converge a 18 * sqrt(22 * π);

Serie che converge a 5 * sqrt(5) / (2 * sqrt(3) * π), da cui Serie che converge a 5 * sqrt(5 * π) / sqrt(3);

Serie che converge a 85 * sqrt(85) / (18 * sqrt(3) * π), da cui Serie che converge a 85 * sqrt(85 * π) / (9 * sqrt(3)).

 

Altre serie simili sono state scoperte in seguito:

Serie che converge a 2 / π, da cui Serie che converge a 2 * sqrt(π);

Serie che converge a 2 / π, da cui Serie che converge a 2 * sqrt(π);

Serie che converge a 5^(1 / 4) / π, da cui Serie che converge a 5^(1 / 4) * sqrt(π);

Serie che converge a 12^(1 / 4) / π, da cui Serie che converge a 12^(1 / 4) * sqrt(π);

Serie che converge a 8 / π^2, da cui Serie che converge a 8 * sqrt(π);

Serie che converge a 128 / π^2, da cui Serie che converge a 128 * sqrt(π);

Serie che converge a 32 / π^3, da cui Serie che converge a 32 * sqrt(π).

 

Altre serie:

Serie che converge a un valore legato a π, per x e y diversi e non interi;

Serie che converge a π, per x > 0;

Serie che converge a π^2 / 6, per x > 0, e in particolare Serie che converge a 5 / 162 * π^3;

Serie che converge a π^2, per x > 1;

Serie che converge a π^2 / 6, per x > 0;

Serie che converge a π^2 / 6;

Serie che converge a una costante legata a π (William Gosper);

Serie che converge a π;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a π^3, per x non intero;

Serie che converge a π^3, per x non intero;

Serie che converge a una costante legata a π (William Gosper);

Serie che converge a un valore legato a π, per x diverso da un intero o dalla metà di un intero (William Gosper);

Serie che converge a π (Plouffe);

Serie che converge a log(4 / π);

Serie che converge a π^3 / 360;

Serie che converge a π;

Serie che converge a π (Boris Gourévitch);

Serie che converge a 7 / 180 * π^3;

Serie che converge a π (Vardi 1991); sommando i primi k termini, si ha un errore circa uguale a (3 / 4)^k;

Serie che converge a log(π) (Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas, 2006);

Serie che converge a log(4 / π), dove N1(n) e N0(n) sono rispettivamente il numero di cifre 1 e il numero di cifre 0 nella rappresentazione in base 2 di n.

 

Varie altre serie si trovano nelle sezioni sul calcolo di π.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

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    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
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    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
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    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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