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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Le occorrenze di π nel calcolo delle probabilità sono innumerevoli e vanno dall’area di una gaussiana al fatto che lanciando 2n volte una moneta la probabilità di ottenere esattamente n volte “testa” e altrettante “croce” è Probabilità di ottenere esattamente n teste su 2n lanci di una moneta, che al crescere di n tende a Limite cui tende la probabilità di ottenere esattamente n teste su 2n lanci di una moneta.

 

Tra le occorrenze più inattese di π nella statistica collegata alla geometria, segnalo le seguenti:

  • l’area media di un triangolo costruito con 3 vertici presi a caso su una circonferenza di raggio unitario è Area media di un triangolo costruito con 3 vertici presi a caso su una circonferenza di raggio unitario; se i vertici sono presi entro il cerchio, l’area media diviene Area media di un triangolo costruito con 3 vertici presi a caso in un cerchio di raggio unitario (W. Woolhouse, 1867);

  • il volume medio di un tetraedro che abbia per vertici 4 punti presi a caso in una sfera di raggio unitario è Volume medio di un tetraedero costruito con 4 vertici presi a caso in una sfera di raggio unitario (Hostinsky, 1925);

  • il volume medio di un tetraedro che abbia per vertici 4 punti presi a caso in un cubo di spigolo unitario è Volume medio di un tetraedero costruito con 4 vertici presi a caso in un cubo di spigolo unitario;

  • il volume medio di un tetraedro che abbia per vertici 4 punti presi a caso in un tetraedro di volume unitario è Volume medio di un tetraedro costruito con 4 vertici presi a caso in un tetraedro di volume unitario;

  • la probabilità che 3 punti presi a caso in un quadrato costituiscano i vertici di un triangolo ottusangolo è Probabilità che 3 punti presi a caso entro un quadrato costituiscano i vertici di un triangolo ottusangolo (E. Langford, 1969);

  • con n tagli piani casuali si ottengono in media Numero medio di parti ottentute da un quadrato con n tagli piani parti da un quadrato e Numero medio di parti ottentute da un cubo con n tagli piani da un cubo;

  • chiamiamo Ld(n) la lunghezza media del più corto percorso chiuso che tocchi una sola volta n punti scelti a caso in un ipercubo di spigolo 1 a d dimensioni (la media va fatta su tutte le possibili scelte dei punti); allora Limite cui tende il più corto percorso chiuso tra n punti scelti a caso in un ipercubo a d dimensioni.

 

La probabilità che 3 punti presi a caso entro un cerchio costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo è 4 / π^2 – 1 / 8 (W. Woolhouse 1886); G.R. Hall nel 1982 generalizzò il problema a dimensioni superiori e Christian Butcha trovò nel 1986 una forma chiusa della probabilità p(n) che 3 punti presi a caso entro una sfera a n dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo: Formula per la probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 2 * n + 1 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo e Formula per la probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 2 * n + 2 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo. La tabella seguente riporta la probabilità per sfere da 2 a 10 dimensioni.

n

Probabilità

2

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 2 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

3

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 3 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

4

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 4 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

5

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 5 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

6

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 6 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

7

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 7 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

8

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 8 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

9

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 9 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

10

Probabilità che 3 punti presi a caso entro una sfera a 10 dimensioni costituiscano i vertici di un triangolo acutangolo

 

Il volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici n + 1 punti presi a caso in una (iper)sfera a n dimensioni di volume unitario è Formula per il volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici n + 1 punti presi a caso in una (iper)sfera a n dimensioni di volume unitario, dove Formula per γ(n). (J.F.C. Kingman, 1969) e la superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici n + 1 punti presi a caso in una (iper)sfera a n dimensioni di superficie unitaria è Formula per la superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici n + 1 punti presi a caso in una (iper)sfera a n dimensioni di superficie unitaria (Christian Butcha e J. Müller, 1984).

La tabella seguente riporta il volume medio per sfere da 2 a 10 dimensioni.

n

Volume medio

2

Superficie media di un triangolo avente per vertici 3 punti presi a caso in un cerchio di superficie unitaria

3

Volume medio di un tetraedro avente per vertici 4 punti presi a caso in una sfera di volume unitario

4

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 5 punti presi a caso in una (iper)sfera a 4 dimensioni di volume unitario

5

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 6 punti presi a caso in una (iper)sfera a 5 dimensioni di volume unitario

6

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 7 punti presi a caso in una (iper)sfera a 6 dimensioni di volume unitario

7

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 8 punti presi a caso in una (iper)sfera a 7 dimensioni di volume unitario

8

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 9 punti presi a caso in una (iper)sfera a 8 dimensioni di volume unitario

9

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 10 punti presi a caso in una (iper)sfera a 9 dimensioni di volume unitario

10

Volume medio di un (iper)tetraedro avente per vertici 11 punti presi a caso in una (iper)sfera a 10 dimensioni di volume unitario

La tabella seguente riporta la superficie media per sfere da 2 a 10 dimensioni.

n

Superficie media

2

Perimetro medio di un triangolo avente per vertici 3 punti presi a caso in un cerchio di circonferenza unitaria

3

Superficie media di un tetraedro avente per vertici 4 punti presi a caso in una sfera di superficie unitaria

4

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 5 punti presi a caso in una (iper)sfera a 4 dimensioni di superficie unitaria

5

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 6 punti presi a caso in una (iper)sfera a 5 dimensioni di superficie unitaria

6

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 7 punti presi a caso in una (iper)sfera a 6 dimensioni di superficie unitaria

7

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 8 punti presi a caso in una (iper)sfera a 7 dimensioni di superficie unitaria

8

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 9 punti presi a caso in una (iper)sfera a 8 dimensioni di superficie unitaria

9

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 10 punti presi a caso in una (iper)sfera a 9 dimensioni di superficie unitaria

10

Superficie media di un (iper)tetraedro avente per vertici 11 punti presi a caso in una (iper)sfera a 10 dimensioni di superficie unitaria

 

Sempre a proposito di statistica applicata alla geometria va ricordato che la lunghezza media dei grandi fiumi, divisa per la distanza in linea d’aria tra sorgente e foce, dà spesso un valore vicino a π, soprattutto nel caso di fiumi che attraversano grandi pianure con poca pendenza. La ragione va cercata, come spiegò Einstein, nella meccanica dell’erosione, che tende a ingigantire deviazioni dal percorso rettilineo, fino a creare meandri approssimativamente semicircolari.

 

Supponiamo di costruire un grafo completo con n vertici, iniziando con n nodi separati e aggiungendo uno alla volta gli Numero di archi in un grafo completo con n vertici archi che li congiungono, in ordine casuale. Inizialmente avremo un certo numero di grafi sconnessi tra loro, che a poco a poco si uniranno, sino a formare il grafo completo. La probabilità che il primo grafo che contiene un ciclo resti anche l’unico sino alla fine (ossia la probabilità che gli altri vengano connessi a questo prima di formare a loro volta cicli isolati) tende, al crescere di n, a Limite cui tende la probabilità che il primo grafo che contiene un ciclo resti l’unico sino alla fine e la probabilità che si formino esattamente due grafi disgiunti contenenti ciascuno almeno un ciclo (destinati a congiungersi in seguito) tende a Limite cui tende la probabilità che si formino esattamente due grafi disgiunti contenenti ciascuno almeno un ciclo.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

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    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
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  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Colpi di fortuna (al cerchio)" in Le Scienze, Milano, n. 475, marzo 2008, pag. 23.
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  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Pickover, Clifford A.;  The Wonders of Numbers, New York, Oxford University Press, 2001.
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  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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