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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Naturalmente π è legato al cerchio e alle sue generalizzazioni in dimensioni superiori, ossia sfera e ipersfere.

Il volume dell’ipersfera di raggio r a n dimensioni è Volume dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r, per n pari per n pari e Volume dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r, per n dispari per n dispari. Queste ultime due formule possono anche essere riunite in una sola: Volume dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r.

La superficie è Superficie dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r, per n pari per n pari e Superficie dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r, per n pari per n dispari. Anche queste formule possono essere riunite in una sola: Superficie dell'ipersfera a n dimensioni di raggio r.

 

Nella geometria π compare non solo in connessione con figure che hanno un legame ovvio col cerchio, come cono, cilindro e sfera, ma anche con innumerevoli altre. Le tabelle seguenti riportano alcuni casi.

Nome

Definizione

Figura

Ellisse

Luogo dei punti con somma delle distanze da due punti (fuochi) costante.

Ellisse

Cicloide

Curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola lungo una retta.

Cicloide

Versiera o strega di Agnesi

Curva ottenuta intersecando le rette passanti per l’origine con la circonferenza di raggio r e centro (0, r) e con una retta di equazione y = 2r. I punti hanno la coordinata x dell’intersezione con la retta e la coordinata y dell’intersezione con la circonferenza. Formula Formula per la versiera.

Versiera

Gaussiana

Formula Formula per la gaussiana.

Gaussiana

Ipocicloide

Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’interno di una circonferenza di raggio R.

Ipocicloide Caso R = 4r.

 

Cardioide

Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’esterno di una circonferenza di raggio r.

Cardioide

Nefroide

Curva descritta da un punto su una circonferenza di raggio r che rotola all’esterno di una circonferenza di raggio 2r.

Nefroide

Salinon (o saliera)

Curva delimitata da quattro archi circolari: una inferiore di raggio R, una superiore di raggio r e due di raggio Raggio delle due circonferenze intermedie.

Salinon

 

Nome

Parametri

Lunghezza

Area

Ellisse

a: semiasse maggiore;

b: semiasse minore.

Formula per la lunghezza dell'ellisse

πab

Cicloide

r: raggio della circonferenza

8r

r2

Versiera o strega di Agnesi

r: raggio della circonferenza

r2

Gaussiana

σ: deviazione standard

Formula per l'area della gaussiana

Ipocicloide

R: raggio della circonferenza esterna;

r: raggio della circonferenza interna

Formula per la lunghezza dell'ipocicloide, se R = nr.

Formula per l'area dell'ipocicloide, se R = nr.

Cardioide

r: raggio della circonferenza.

8r

Formula per l'area della cardioide

Nefroide

r: raggio della circonferenza.

24r

12πr2

Salinon (o saliera)

R: raggio della circonferenza inferiore;

r: raggio della circonferenza superiore

R

Formula per l'area del salinon

 

Un’occorrenza assolutamente inattesa fu scoperta da David Boll nel 1991, esaminando l’insieme di Mandelbrot vicino al punto di coordinate Coordinate del punto; il numero di iterazioni necessarie perché il modulo della successione che inizia da Coordinate del punto diventi maggiore di 2 tende, per ε tendente a 0, a Limite cui tende il numero di iterazioni.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
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  • Dörrie, Heinrich;  100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dover, 1965 -

    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

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    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

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    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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