Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

Le occorrenze nella teoria dei numeri sono numerosissime, soprattutto in relazione a reciproci e divisori:

  • la probabilità che un intero scelto a caso tra 0 e n non sia multiplo di un quadrato tende a Limite cui tende la probabilità che un intero scelto a caso tra 0 e n non sia multiplo di un quadrato al tendere di n all’infinito, come la probabilità che due interi scelti a caso tra 0 e n siano primi tra loro, come anche il valor medio di φ(n) / n;

  • la somma dei divisori degli interi da 1 a n tende a Limite cui tende la somma dei divisori degli interi da 1 a n (v. funzione σ);

  • la media della somma dei reciproci dei divisori di n che sono quadrati tende a Limite cui tende la media della somma dei reciproci dei divisori di n che sono quadrati;

  • la media della somma dei reciproci dei divisori dispari di n tende a Limite cui tende la media della somma dei reciproci dei divisori dispari di n;

  • la media della somma dei cubi dei reciproci dei divisori dispari di n tende a Limite cui tende la media della somma dei cubi dei reciproci dei divisori dispari di n;

  • la media della somma delle quinte potenze dei reciproci dei divisori dispari di n tende a Limite cui tende la media della somma delle quinte potenze dei reciproci dei divisori dispari di n;

  • Limite cui tende la somma dei valori della funzione φ(n) divisa per n^2.

 

La somma di reciproci dei quadrati degli interi è legata a π:

  • se la somma viene calcolata su tutti gli interi, si ottiene Somma dei reciproci dei quadrati degli interi (Eulero);

  • se viene calcolata sugli interi dispari, si ottiene Somma dei reciproci dei quadrati degli interi dispari;

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero dispari di fattori primi (non necessariamente distinti), allora il risultato è Somma dei reciproci dei quadrati degli interi che hanno un numero dispari di fattori primi (Ramanujan);

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero pari di fattori primi (non necessariamente distinti), allora il risultato è Somma dei reciproci dei quadrati degli interi che hanno un numero pari di fattori primi (Ramanujan);

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero dispari di fattori primi distinti, allora il risultato è Somma dei reciproci dei quadrati degli interi che hanno un numero dispari di fattori primi distinti (Ramanujan);

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero pari di fattori primi distinti, allora il risultato è Somma dei reciproci dei quadrati degli interi che hanno un numero pari di fattori primi distinti (Ramanujan);

  • se anziché sommare, si somma e sottrae alternativamente, si ottiene Somma dei reciproci dei quadrati degli interi a segni alterni.

 

Qualcosa di simile vale per la somma di reciproci dei biquadrati degli interi:

  • se la somma viene calcolata su tutti gli interi, si ottiene Somma dei reciproci dei biquadrati degli interi (Eulero);

  • se viene calcolata sugli interi dispari, si ottiene Somma dei reciproci dei biquadrati degli interi dispari;

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero dispari di fattori primi distinti, allora il risultato è Somma dei reciproci dei biquadrati degli interi che hanno un numero dispari di fattori primi distinti (Ramanujan);

  • se viene calcolata solo sugli interi che hanno un numero pari di fattori primi distinti, allora il risultato è Somma dei reciproci dei biquadrati degli interi che hanno un numero pari di fattori primi distinti (Ramanujan);

  • se anziché sommare, si somma e sottrae alternativamente, si ottiene Somma dei reciproci dei biquadrati degli interi a segni alterni.

 

Più in generale le potenze di π sono strettamente legate a somme di reciproci di potenze degli interi, ossia alle funzioni α, β, γ e ζ:

  • Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi (Ramanujan);

  • Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e in particolare π2 = 6ζ(2) e π4 = 90ζ(4);

  • Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e in particolare Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi;

  • Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e in particolare Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi;

  • Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi e in particolare Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi (Eulero) e Formula che lega π a somme di reciproci di potenze degli interi.

 

Se si eliminano interi di alcune categorie dalla somma, si possono ottenere ancora valori legati a π; per esempio, eliminando i multipli di 2 si ottengono le funzioni β e γ, mentre eliminando i multipli di 3 si possono ottenere serie come le seguenti:

  • Somma dei reciproci degli interi non multipli di 3;

  • Somma dei reciproci dei quadrati degli interi non multipli di 3;

  • Somma dei reciproci dei cubi degli interi non multipli di 3.

 

Eliminando sia i multipli di 2, che quelli di 3, si possono ottenere serie come le seguenti:

  • Somma dei reciproci degli interi non multipli di 2 o di 3;

  • Somma dei reciproci dei quadrati degli interi non multipli di 2 o di 3;

  • Somma dei reciproci dei cubi degli interi non multipli di 2 o di 3.

 

Una formula incredibile, anche se inutilizzabile per il calcolo di π perché converge troppo lentamente, è Serie convergente a π, dove λ(n) vale –1, se la scomposizione di n contiene un numero dispari di fattori primi della forma 4m + 3, 1 altrimenti (Eulero).

 

Per la maggior parte (in un senso che può essere reso preciso tecnicamente) delle coppie di interi a e b con a > b, l’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore richiede in media Numero medio di passi dell'algoritmo di Euclide passi (v. costante di Porter – Hensley).

 

Un’occorrenza assolutamente inattesa si ottiene da una funzione alquanto stravagante. Definiamo una funzione f(n) come segue: per ogni valore di n si passa da n al minimo multiplo superiore di n – 1, poi si passa dal risultato ottenuto al minimo multiplo superiore di n – 2, e così via, sino a passare dall’ultimo risultato al minimo multiplo di 2, per ottenere f(n). Per esempio, f(12) = 48, perché la sequenza generata è: 22 (minimo multiplo di 11 maggiore di 12), 30 (minimo multiplo di 10 maggiore di 22), 36 (minimo multiplo di 9 maggiore di 30), 40 (minimo multiplo di 8 maggiore di 36), 42, 42, 45, 48, 48, 48.

La tabella seguente mostra i primi valori della funzione.

n

f(n)

f(n) / n^2 (approssimato)

1

1

1

2

2

0.5

3

4

0.4

4

6

0.375

5

10

0.4

6

12

0.3

7

18

0.3673469388

8

22

0.34375

9

30

0.370

10

34

0.34

11

42

0.3471074380

12

48

0.3

13

58

0.3431952663

14

60

0.3061224490

15

78

0.346

16

82

0.3203125

17

102

0.3529411765

18

108

0.3

19

118

0.3268698061

20

132

0.33

 Ebbene, Limite cui tende f(n) / n^2. Il valore di f(n) / n^2 oscilla irregolarmente intorno a 1 / π, riducendo però lentamente le oscillazioni.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

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    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
  • Cresci, Luciano;  Le curve matematiche, Milano, Hoepli, 2005.
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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

  • Hénin, Silvio;  "La legge del pi greco nello stato dell’Indiana" in Le Scienze, Milano, n. 449, gennaio 2006, pag. 118.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
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  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
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  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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