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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in teoria dei numeri
  3. 3. Occorrenze in geometria
  4. 4. Occorrenze in calcolo delle probabilità e statistica
  5. 5. Serie
  6. 6. Prodotti
  7. 7. Limiti
  8. 8. Integrali
  9. 9. Altre formule
  10. 10. Storia del calcolo di π, primo periodo
  11. 11. Storia del calcolo di π, secondo periodo
  12. 12. Storia del calcolo di π, terzo periodo
  13. 13. Il calcolo di π
  14. 14. Calcolo di cifre singole
  15. 15. Approssimazioni
  16. 16. Approssimazioni scadenti
  17. 17. La quadratura del cerchio
  18. 18. Aiuti mnemonici

(lettera greca pi)

 

Il numero più famoso della matematica.

 

E’ definito come il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro o tra l’area di un cerchio e il quadrato del raggio.

 

Viene anche chiamato “costante di Archimede”, in onore del matematico siracusano che ne calcolò un’ottima approssimazione e che trovò il primo metodo rigoroso per calcolarne il valore, metodo che rimase in uso per 18 secoli.

Noto anche come “numero di Ludolph”, soprattutto in Germania, in onore del matematico Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) che ne calcolò una delle migliori approssimazioni ottenuta con metodi puramente geometrici: 35 cifre. Tale calcolo ebbe tanta risonanza che le 35 cifre furono incise sulla pietra tombale del matematico, purtroppo andata perduta.

 

Anticamente non aveva un nome e veniva indicato con la sua definizione per esteso; lo sviluppo dell’analisi fece però sentire la necessità di un simbolo e Wallis intorno alla metà del XVII secolo utilizzò un quadratino per indicarlo (forse perché un cerchietto si poteva confondere con la lettera o?).

Per un certo periodo alcuni matematici usarono il simbolo π per indicare la lunghezza della circonferenza: William Oughtred (Eton, UK, 5/3/1574 – Albury, UK, 30/6/1660) nel 1647 designò il rapporto tra circonferenza e diametro con π / δ, poi Isaac Barrow (Londra, ottobre 1630 – Londra, 4/5/1677) e David Gregory (Aberdeen, Scozia, 3/6/1659 – Maidenhead, Inghilterra, 10/10/1708) nel 1697 utilizzarono notazioni analoghe, ma non vi era un accordo universale.

Nel 1689 Johann Christoph Sturm (Hilpoltstein, Germania, 3/11/1635 – Altdorf bei Nürnberg, Germania, 26/12/1703) fu il primo a usare un simbolo isolato per π, ma scelse la lettera e, mentre altri matematici proposero c o p.

 

Il simbolo π fu attribuito al rapporto nel 1706 dal matematico gallese William Jones (Llanfihangel Tre’r Beirdd, UK, 1675 – Londra, 3/7/1749), in Synopsis Palmariorum Matheseos, dal titolo inglese A New Introduction to the Mathematics for the Use of some Friends who have neither Leisure, Convenience, nor, perhaps, Patience to search into so many different Authors, and turn over so many tedious Volumes, as is unavoidably required to make but tolerable Progress in the Mathematics (Una nuova introduzione alla matematica a uso di alcuni amici che non hanno il tempo, l’agio né, forse, la pazienza di ricercare tra così tanti Autori diversi e sfogliare così tanti noiosi volumi, com’è inevitabilmente richiesto per fare progressi accettabili in matematica), forse come abbreviazione della parola greca περιφέρεια (circonferenza) o più probabilmente della parola greca περίμετρον (perimetro).

 

Eulero utilizzò nel 1736 la lettera c, come Jean Bernoulli, poi passò alla p nel 1747 e infine adottò il simbolo π, insieme con la lettera g per la sua metà, e lo fece diventare universale entro la fine del XVIII secolo, soprattutto grazie a Introductio in analysis infinitorum (1748), che ebbe vasta diffusione in Europa.

 

Non sono mancati tentativi di attribuire alla costante un altro simbolo; tra i più originali, va ricordato Benjamin Pierce (1809 – 1880) che propose i simboli Simbolo per π per π e Simbolo per e per e, ma senza molto successo.

 

Johann Heinrich Lambert (Mulhouse, Francia, 26/8/1728 – Berlino, 25/9/1777) dimostrò nel 1761 che è un numero irrazionale, Adrien_Marie Legendre (Parigi, 18/9/1752 – Parigi, 10/1/1833) dimostrò nel 1794 che anche π2 è irrazionale e nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939) provò infine che è trascendente, come già Eulero aveva supposto.

Weierstrass nel 1885 e David Hilbert (Königsberg, oggi Znamensk, Russia, 23/1/1862 – Göttingen, Germania, 14/2/1943) nel 1893 semplificarono la dimostrazione. Adolf Hurwitz (Hildesheim, Germania, 26/3/1859 – Zurigo, 18/11/1919) e Paul Gordan (Breslau, Polonia, 27/4/1837 – Erlangen,. Germania, 21/12/1912) diedero una dimostrazione della trascendenza con metodi elementari.

Nel 1947 I. Niven pubblicò una dimostrazione dell’irrazionalità di π relativamente semplice, che richiede solo la conoscenza del calcolo integrale.

 

K. Mahler dimostrò nel 1953 che π non è un numero di Liouville; da allora si è cercato di ridurre la sua misura di irrazionalità (v. numeri di Liouville), che potrebbe essere semplicemente 2; i più importanti limiti superiori dimostrati sono:

  • 42 (K. Mahler, 1953);

  • 20.6 (M. Migmotte, 1974);

  • 19.89 (David V. Chudnovsky e Gregory V. Chudnovsky, 1979);

  • 14.8 (G. Rhin e C. Viola, 1993);

  • 8.0161 (Hata, 1993);

  • 7.60630853 (V.K. Salikhov, 2004).

La misura di irrazionalità di π2 è al massimo 5.441243 (M. Hata, 1995).

 

Le occorrenze di π nei campi più disparati della geometria e della matematica, dalla teoria dei numeri a quella dei grafi sono tante da poter riempire vari scaffali di una biblioteca; mi limito quindi a riportare qualche esempio.

 

Anche le formule che coinvolgono π sono numerosissime e compaiono in ogni ramo della matematica; qui trovate solo un piccolissimo campionario.

Vedi anche

Numeri affamati.

Bibliografia

  • Avellino, Mario Rosario;  Pi greco una storia infinita, Castellammare di Stabia, Micro media s.r.l., 2012 -

    Un testo divulgativo di facile lettura, per studenti delle medie superiori e appassionati in genere.

  • Bailey, D.H.;  Borwein, Peter Benjamin;  Plouffe, Simon;  "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" in Mathematics of Computation, 1997, vol. 66, pag. 903 – 913.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Beckmann, Petr;  A History of π, New York, St. Martin’s Press, 1971 -

    Una semplice e divertente storia di π.

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Blattner, David;  The Joy of Pi, New York, Walker & Co, 1997 -

    Ristampato da Penguin Books, 1998.

  • Boese, Alex;  The Museum of Hoaxes, Penguin Group, 2002 -

    Una divertente raccolta di truffe, scherzi, invenzioni assurde che hanno mietuto vittime anche illustri.

  • Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi and AGM, New York, John Wiley & Sons, 1987.
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    Una traduzione inglese della quinta edizione di Triumph der Mathematik: Hundert berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur, Würzburg, Physica Verlag, 1958. La prima edizione, ormai introvabile, risale al 1932.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

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  • Higgins, Peter M.;  Divertirsi con la matematica, Bari, Ediz. Dedalo, 1999 -

    trad. di Mathematics for the Curious, Oxford University Press, 1998. Raccolta di fatti e curiosità matematiche di facile e gradevole lettura.

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    Un’ottima biografia di Ramanujan.

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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