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Iperbolici (numeri)

Algebra 

I numeri iperbolici costituiscono un’algebra bidimensionale associativa e commutativa sui reali, analoga a quella dei complessi. Si ottengono aggiungendo ai reali un numero j non nullo, né positivo né negativo né reale (come l’unità immaginaria), diverso da 1, ma con la proprietà j2 = 1.

Un numero iperbolico si esprime quindi come a + bj, con a e b reali.

 

Furono introdotti da Sir James Cockle (14/1/1819 – 27/1/1895) nel 1848.

 

Si può definire il “coniugato” di un numero iperbolico x = a + bj come x = abj.

Il modulo di un numero iperbolico è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bj è xx = a2b2 e a differenza di quanto succede per reali e complessi può essere negativo e non è una norma.

 

La proprietà di j ci permette di definire le operazioni sui numeri iperbolici:

  • (a + bj) ± (c + dj) = (a ± c) + (b ± d)j;

  • (a + bj)(c + dj) = (ac + bd) + (ad + bc)j;

  • Formula per il quoziente di numeri iperbolici, per c2d2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un numero iperbolico con modulo nullo).

 

Tra i numeri iperbolici oltre a 0 e 1 vi sono altre due soluzioni dell’equazione x = x2 (ossia numeri uguali al loro quadrato): Numeri iperbolici uguali al loro quadrato.

 

Un numero iperbolico a + bj può anche essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione di un numeri iperbolici tramite matrice, conservando le proprietà delle operazioni; con questa rappresentazione il modulo è il determinante della matrice.

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