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Lehmer (numeri di) (II)

Teoria dei numeri 

Derrick Henry Lehmer (Berkeley, California, 23/2/1905 – Berkeley, California, 22/5/1991) avanzò nel 1932 la congettura che non esistano numeri composti n tali che φ(n) divida n – 1. I numeri primi sono esclusi perché se n è primo, φ(n) = n – 1.

Sono quindi chiamati “numeri di Lehmer” i numeri composti n tali che φ(n) divida n – 1.

Non se ne conosce nessuno e non è stato dimostrato che esistano, ma neppure che non possano esistere o che siano al massimo in numero finito.

 

Lehmer dimostrò che se esiste un numero n del genere:

  • è dispari;

  • non è multiplo di quadrati;

  • è un numero di Carmichael;

  • ha almeno 7 fattori primi distinti;

  • ha un numero pari di fattori primi della forma 4k + 3;

  • se un primo p divide n, n non è divisibile per primi della forma kp + 1;

  • se φ(n) = 3(n – 1), n ha più di 32 fattori primi distinti;

  • per qualsiasi primo p, np non ha la stessa proprietà.

 

E’ stato dimostrato che non esistono numeri di Lehmer in alcune categorie quali:

Cirreluelo e Luca dimostrarono anche che i numeri di Lehmer pluriunitari sono al massimo in numero finito in ogni base.

 

Se esiste un numero di Lehmer:

  • deve avere almeno 14 fattori primi distinti ed essere maggiore di 1020 (Graeme L. Cohen e Peter Hagis, 1980);

  • se è multiplo di 3, deve avere almeno 212 fattori primi ed essere maggiore di 5.5 • 10552 (E. Lieuwens, 1970);

  • se è multiplo di 3, deve avere almeno 298848 fattori primi distinti ed essere maggiore di 101937042 (Graeme L. Cohen e Peter Hagis, 1980);

  • se è multiplo di 3, deve avere almeno 40000000 fattori primi distinti ed essere maggiore di 10360000000 (Burcsi, Czirbusz e Farkas, 2011);

  • se non è multiplo di 15, deve avere almeno 26 fattori primi (D.W. Wall, 1980).

 

Nel 2011 Florian Luca e Carl Pomerance dimostrarono che asintoticamente il numero di numeri di Lehmer minori di n non può crescere più di Limite superiore per la crescita asintotica del numero di numeri di Lehmer minori di n, ma questa è ovviamente una colossale sovrastima, soprattutto se il valore effettivo è zero, come molti ritengono.

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