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Intoccabili unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “intoccabili unitari” i numeri naturali che non sono la somma dei divisori unitari propri (escluso cioè il numero stesso) di alcun numero. In altri termini, sono i numeri n tali che non esiste alcun intero k per il quale valga n = σ*(k) – k.

 

Inumeri intoccabili unitari inferiori a 10000 sono: 2, 3, 4, 5, 7, 374, 702, 758, 998, 1542, 1598, 1778, 1808, 1830, 1974, 2378, 2430, 2910, 3164, 3182, 3188, 3216, 3506, 3540, 3666, 3698, 3818, 3846, 3986, 4196, 4230, 4574, 4718, 4782, 5126, 5324, 5610, 5738, 5918, 5952, 6002, 6174, 6270, 6404, 6450, 6510, 6758, 6822, 6870, 6884, 7110, 7178, 7332, 7406, 7518, 7842, 7902, 8258, 8400, 8622, 8670, 8790, 8850, 8862, 8916, 8930, 8982, 9116, 9518, 9522, 9558, 9570, 9582, 9642, 9930

Qui trovate i numeri intoccabili unitari minori di 106 (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Carl Pomerance e Hee-Sung Yang dimostrarono nel 2012 che hanno una densità asintotica maggiore di 9.4 • 10–20 e non superiore a 0.40632 e che la densità asintotica dei numeri che sono sia intoccabili, sia intoccabili unitari è almeno di 4.9 • 10–131. Non è però noto se la densità asintotica dei numeri intoccabili unitari tenda a un limite.

 

Se è vera una versione leggermente più forte della congettura di Goldbach, che afferma che ogni numero pari maggiore di 6 si può esprimere come somma di due primi distinti, 3, 5 e 7 sono gli unici numeri intoccabili unitari dispari e quindi 2, 3, 5 e 7 sono gli unici numeri intoccabili unitari primi. Infatti come conseguenza della congettura, un numero dispari maggiore di 7 si può sempre scrivere come p + q + 1, con p e q primi distinti, ed è la somma dei divisori unitari propri di pq.

 

Nessun numero della forma p + 2n + 1 con p primo è intoccabile unitario, perché la somma dei divisori unitari propri di 2np è p + 2n + 1.

 

I numeri intoccabili unitari sono poco frequenti, come mostra la tabella seguente (M. Fiorentini, 2016).

n

Numeri intoccabili unitari minori di n

10

5

100

5

1000

9

10000

75

100000

862

1000000

9903

10000000

101030

100000000

1028263

1000000000

10518742

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