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Strettamente non palindromi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “strettamente non palindromi” i numeri naturali n che non sono palindromi in alcuna base inferiore a n – 1. Il limite è motivato dal fatto che ogni intero n in base n – 1 si rappresenta come 11n – 1 e quindi è palindromo, in base n si rappresenta come 10n, e quindi non lo è, e in basi superiori a n si rappresentai con una sola cifra e quindi è palindromo.

 

Se un intero n ha un divisore d maggiore della sua radice quadrata, si può esprimere come dk, con k < d – 1, ma allora in base d – 1 si rappresenta come kkd ed è palindromo. L’unica eccezione è 6, prodotto degli unici due primi consecutivi, perché in questo caso d è 3 e k è 2, uguale a d – 1.

Se n = m2 è un quadrato, in base m – 1 si rappresenta come 121m, quindi è palindromo se m > 3. Le uniche due eccezioni sono 4 e 9, ma 9 = 10012 è palindromo in base 2.

Pertanto condizione necessaria perché un numero sia strettamente non palindromo è che sia un primo, con le sole eccezioni di 0, 1, 4 e 6.

Non tutti i primi però sono strettamente non palindromi; in particolare non lo sono quelli uguali a una potenza più 1, perché se p = bn + 1, in base b si rappresenta come 1 seguito da n – 1 zeri e ancora 1, quindi è palindromo. Per esempio, 5 = 22 + 1 = 1012. Analogamente non lo sono quelli uguali a una potenza meno 1, ossia i primi di Mersenne, perché in base 2 si rappresentano con tutte le cifre uguali a 1.

 

I numeri strettamente non palindromi minori di 1000 sono: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997.

Qui trovate i numeri strettamente non palindromi minori di 107.

Vi sono 1877151 numeri strettamente non palindromi minori di 109.

 

Non è stato dimostrato che i primi strettamente non palindromi siano infiniti (come probabile), né che lo siano gli altri primi. Se la congettura di Bunyakovsky è vera, esistono infiniti primi della forma n2 + 1, che in base n si rappresentano come 101n, quindi sono palindromi.

 

Esistono coppie di primi gemelli strettamente non palindromi; quelle minori di 105 sono:

137, 139;

4337, 4339;

8291, 8293;

9419, 9421;

10937, 10939;

13757, 13759;

19427, 19429;

20981, 20983;

36011, 36013;

38327, 38329;

43397, 43399;

59441, 59443;

71327, 71329;

74717, 74719;

76871, 76873;

90437, 90439;

91571, 91573.

Vi sono 5611 coppie del genere minori di 109.

Qui trovate le coppie di primi gemelli strettamente non palindromi minori di 109.

 

Sono anche state cercate sequenze di primi strettamente non palindromi consecutivi:

  • vi sono 76754 coppie inferiori a 109; la minima è costituita da 2 e 3, la successiva da 47 e 53;

  • vi sono 3303 triple inferiori a 109; la minima è costituita da: 137, 139, 149;

  • vi sono 158 quadruple inferiori a 109; la minima costituita da: 44449, 44453, 44483, 44491;

  • vi sono solo 5 quintuple inferiori a 109; la minima è costituita da 3253177, 3253219, 3253223, 3253231, 3253241;

  • non si conoscono sequenze più lunghe; se esistono, sono formate da numeri maggiori di 109.

Qui trovate le coppie di primi strettamente non palindromi consecutivi minori di 109 (1.5 Mbyte).

Qui trovate le triple di primi strettamente non palindromi consecutivi minori di 109.

Qui trovate le quadruple di primi strettamente non palindromi consecutivi minori di 109.

Le 5 quintuple inferiori a 109 sono:

3253177, 3253219, 3253223, 3253231, 3253241;

20189111, 20189119, 20189123, 20189137, 20189167;

22122937, 22122979, 22122983, 22123021, 22123043;

61309069, 61309081, 61309091, 61309093, 61309097;

89073521, 89073533, 89073583, 89073599, 89073613.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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