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Primi di Gauss

Teoria dei numeri 

I primi di Gauss sono gli interi di Gauss primi, ossia i numeri complessi, della forma a + bi, con a e b interi, anche negativi, che non sono multipli di altri interi di Gauss, tranne le unità ±1 e ±i, e sono diversi dalle unità stesse.

 

Ogni primo di Gauss reale, cioè con b nullo, è un normale primo, ma non è sempre vero l’inverso: 5 è un numero primo, ma non è un primo di Gauss, perché 5 = (2 + i)(2 – 1).

 

Un intero di Gauss a + bi è primo se e solo se la sua norma a2 + b2 è un numero primo o se b è zero e a è un primo della forma 4k + 3.

Sono quindi primi di Gauss tutti i primi della forma 4k + 3. Non è invece primo di Gauss 2, perché 2 = (1 + i)(1 – i), né lo sono i primi della forma 4k + 1, come dimostrò Gauss, perchè un primo del genere si può esprimere come a2 + b2, e quindi come (a + ib)(a – ib). Per esempio, 2 = 12 + 12 = (1 + i)(1 – i) e 13 = 22 + 32 = (2 + 3i)(2 – 3i).

 

Tutti i primi della forma 12n + 11 sono primi di Eisenstein e primi di Gauss.

 

I primi di Gauss sono infiniti.

 

Tutti i primi di Mersenne sono primi di Gauss, quindi in ogni momento della storia il massimo primo di Gauss noto è sempre stato in massimo primo noto, tranne rare eccezioni (v. numeri primi).

 

Il massimo primo di Gauss noto con parte intera e parte immaginaria non nulle è (1 + i)1203792 – 1.

 

Le distanze tra un primo di Gauss e quelli a lui vicini non aumentano senza limite, come nel caso dei primi; un problema aperto, proposto da Basil Gordon nel 1962, è se sia possibile iniziando da zero, arrivare a infinito passando da un primo di Gauss a un altro con “salti” limitati.

Il problema è anche noto come “problema del fossato”, perché si può esprimere chiedendo se l’origine sia circondata da “fossati” privi di primi di Gauss di larghezza illimitata.

J.H. Jordan e J.R. Rabung dimostrarono nel 1970 che esiste un fossato di larghezza sqrt(10) e che quindi è necessario almeno un passo di tale lunghezza.

Nel 1998 Ellen Gethner, Stan Wagon e Brian Wick trovarono esplicitamente fossati di larghezza 4 e sqrt(18) e dimostrarono che esiste un fossato di larghezza sqrt(26) intorno all’origine.

Ellen Gethner e Harold Stark dimostrarono che passi di lunghezza 2 non bastano, quale che sia il punto di partenza.

 

La retta reale e la retta immaginaria contengono infiniti primi di Gauss; non è noto se sul piano complesso vi siano altre rette con la stessa proprietà e in particolare se esistano infiniti primi di Gauss della forma 1 + ki.

Nel 1998 Ellen Gethner, Stan Wagon e Brian Wick dimostrarono che ogni retta del piano complesso contiene intervalli di lunghezza arbitraria contenenti solo numeri di Gauss composti.

 

Vi sono alcune “costellazioni” di numeri primi con un numero finito di occorrenze; per esempio, gli unici primi della costellazione { p, p + 2, p + 4 } sono 3, 5, e 7, perché in ogni altro insieme di tre numeri di quella forma uno è multiplo di 3; analogamente non esistono primi della costellazione { p, p + 8, p + 22 }, perché in ogni altro insieme di tre numeri di quella forma uno è multiplo di 3 e 3 non fa parte di una costellazione del genere di primi. In generale esiste al massimo un solo insieme di primi di una costellazione come { p, p + 2r, p + 4r }, per qualsiasi intero positivo r.

Per i primi di Gauss le cose sono diverse: nel 2011 Terence Tao dimostrò che esistono infiniti primi di Gauss per qualsiasi “costellazione”; più precisamente, dati n interi di Gauss distinti k1, k2, … kn, esistono infiniti insiemi di n primi di Gauss della costellazione { a + k1r, a + k2r, … a + knr }, con a intero di Gauss e r intero. Per esempio, esistono infiniti insiemi di primi della forma { a, a + 2r, a + 6r, a + 8r }. In particolare esistono quindi infinite progressioni aritmetiche di primi di Gauss di qualsiasi lunghezza.

 

Un intero di Gauss si dice “pari” se multiplo di 1 + i, unico primo di Gauss pari (a parte quelli ottenuti moltiplicando questo numero per le unità).

 

Due primi di Gauss si dicono “gemelli” se la loro differenza è 1 + i, eventualmente moltiplicato per un’unità.

C.A. Holben e C.H. Jordan proposero alcune congetture sui primi di Gauss, analoghe alla congettura dei primi gemelli e alla congettura di Goldbach:

  • esistono infiniti primi di Gauss gemelli;

  • per ogni intero di Gauss pari a con norma maggiore di sqrt(2) esistono due primi di Gauss p e q, tali che a = p + q e gli angoli a0p e a0q (ottenuti sostituendo ai numeri i corrispondenti punti sul piano complesso) sono inferiori a 45°;

  • per ogni intero di Gauss pari a con norma maggiore di sqrt(10) esistono due primi di Gauss p e q, tali che a = p + q e gli angoli a0p e a0q (ottenuti sostituendo ai numeri i corrispondenti punti sul piano complesso) sono inferiori a 30°.

Non è chiaro se aumentando il limite inferiore per la norma sia possibile ridurre a piacere l’angolo o se esista un angolo minimo, al di sotto del quale non si può scendere, sempre ammesso che le ultime due congetture siano vere.

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