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Primi di Eisenstein

Teoria dei numeri 

I primi di Eisenstein, detti anche “primi di Eisenstein – Jacobi”, sono gli interi di Eisenstein primi, ossia i numeri complessi della forma a + ωb, con a e b interi, anche negativi, che non sono multipli di altri interi di Eisenstein, tranne le unità ±1, ±ω e ±ω2, e sono diversi dalle unità stesse.

 

Ogni primo di Eisenstein reale, cioè con b nullo, è un normale primo, ma non è sempre vero l’inverso: 3 è un numero primo, ma non è un primo di Eisenstein, perché 3 = (1 – ω)(1 – ω2).

 

Sono primi di Eisenstein 2 e i primi della forma 6k – 1, mentre non lo sono 3 e i primi della forma 6k + 1, perché sono scomponibili come prodotto di interi di Eisenstein diversi dalle unità. Per esempio, 3 = –(1 + 2ω)2, 7 = (3 + 2ω)(2 – ω) e 19 = (3 – 2ω)(3 – 2ω2).

 

Un intero di Eisenstein z = a + ωb è un primo di Eisenstein se e solo se vale una delle due seguenti condizioni, ma non l’altra:

  • z è il prodotto di un primo p della forma 3n – 1 per un’unità (±1, ±ω o ±ω2);

  • |z|2 = a2ab + b2 è un primo (necessariamente uguale a 3 o della forma 3n + 1).

 

I primi di Eisenstein di valore assoluto fino a 7 sono: 2, 5, 1 – ω 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω e gli interi di Eisenstein ottenuti moltiplicando questi valori per le unità.

 

Tutti i primi della forma 12n + 11 sono primi di Eisenstein e primi di Gauss.

 

Nessun primo di Mersenne è un primo di Eisenstein.

 

I primi di Eisenstein sono infiniti.

 

Il massimo primo di Eisenstein noto è 19249 • 213018586 + 1.

Vedi anche

Interi di Eisenstein.

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